Question

A hipotenusa de um triângulo retangulo mede 10 cm e o perímetro 22 cm . a Área do triângulo ( em cm ) é ?

Answer 1

Hipotenusa: 10 cm 
1º Cateto: x 
2º Cateto: y 


x + y + 10 = 22 

x + y = 12 

pitágoras
x² + y² = 10² 

x² + y² = 100 


{ x + y = 12 
{ x² + y² = 100 

x + y = 12 

x = 12 - y 

Jogando na 2. 

x² + y² = 100 

(12-y)² + y² = 100 

(12-y).(12-y) + y² = 100 

144 -24y +y² +y² = 100 

2y² -24y + 144 = 100 

2y² -24y + 44 = 0 

Dividindo tudo por 2: 

y² -12y +22 = 0 


∆ = b²-4ac 
∆ = (-12)² -4.1.22 
∆ = 144 - 4.22 
∆ = 144 - 88 
∆ = 56 

y = ( -b ± √∆ ) / 2a 

y = ( 12 ± √56 ) / 2 

y = ( 12 ± √56 ) / 2 

y = ( 12 ± √4.14 ) / 2 

-> y1 = (12 + 2√14) / 2 
-> y1 = 2.(6+√14) / 2 
-> y1 = 6 + √14 

-> y2 = (12 - 2√14) / 2 
-> y2 = 2.(6-√14) / 2 
-> y2 = 6 - √14 

Se y for 6+√14: 

x = 12 - 6 -√14 
x = 6 - √14 

Se y for 6-√14: 

x = 12 -6 +√14 
x = 6+√14 


A = cateto x cateto / 2 

A = (6+√14).(6-√14) / 2 

A = (36 -6√14 +6√14 -14) / 2 

A = (36-14) / 2 

A = 22 / 2 

A = 11 cm² 

Answer 2

O valor do perímetro de um triângulo retângulo é dado  pela fórmula:
P = L + L + L
Assim temos que :
Hipotenusa = a
Cateto 1 = b
Cateto 2 = c
substituindo temos que:
10 + b + c = 22
b + c = 22 - 10
b + c = 12
Aplicando Pitágoras temos que:
12² = (b² + c²)
144 =  b² + 2bc + c²

Para descobrir o valor de b² + c² fazemos:
10² = b² + c²
b² + c² = 100
Assim substituímos em Pitágoras e achamos:
144 =  b² + 2bc + c²
144 = b² + c² + 2bc
b² + c² + 2bc = 144
100 + 2bc = 144
2bc = 44
bc = 22 
Aplicando a fórmula da área temos que:
A = bc
      2
A = 22
       2
A= 11 cm²
A área desse triângulo é de 11 cm²