Question

a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22cm. a área do triângulo (em cm²) é:

Answer 1

hipotenusa = 10 cm

1º Cateto: x
2º Cateto: y

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Ele me diz que o perímetro é 22 cm

Ou seja,

x + y + 10 = 22

x + y = 12

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Só que por pitágoras, temos que:

x² + y² = 10²

x² + y² = 100

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Agora só preciso resolver esse sistema:

{ x + y = 12
{ x² + y² = 100

Para esse sistema, o ideal é modificar a equação 1 e jogá-la na 2.

x + y = 12

x = 12 - y

Jogando na 2.

x² + y² = 100

(12-y)² + y² = 100

(12-y).(12-y) + y² = 100

144 -24y +y² +y² = 100

2y² -24y + 144 = 100

2y² -24y + 44 = 0

Dividindo tudo por 2:

y² -12y +22 = 0

Aplicando Bhaskara:

∆ = b²-4ac
∆ = (-12)² -4.1.22
∆ = 144 - 4.22
∆ = 144 - 88
∆ = 56

y = ( -b ± √∆ ) / 2a

y = ( 12 ± √56 ) / 2

y = ( 12 ± √56 ) / 2

y = ( 12 ± √4.14 ) / 2

-> y1 = (12 + 2√14) / 2
-> y1 = 2.(6+√14) / 2
-> y1 = 6 + √14

-> y2 = (12 - 2√14) / 2
-> y2 = 2.(6-√14) / 2
-> y2 = 6 - √14

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Se y for 6+√14:

x = 12 - 6 -√14
x = 6 - √14

Se y for 6-√14:

x = 12 -6 +√14
x = 6+√14

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Como vc percebeu, de qualquer modo eu tenho um cateto medindo 6+√14 e outro medindo 6-√14
Não importa qual cateto é qual.

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Vamos à área:

A = cateto x cateto / 2

A = (6+√14).(6-√14) / 2

Fazendo a distributiva:

A = (36 -6√14 +6√14 -14) / 2

Perceba que a raiz de 14 vai sumir.

A = (36-14) / 2

A = 22 / 2

A = 11 cm²

Resposta: A área desse triangulo vale 11 cm²