Question

A Hessiana da função f dada por f (x,y)=5x

Answer 1

H[f(x,y)]   =        d²f(x,y)/dx²             d²f(x,y)/dxdy

                          d²f(x,y)/dydx          d²f(x,y)/dy²    


H[f(x,y)]   =                0           0

                                  0           0

A função não tem mínimo , nem máximo...........

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a matriz hessiana, bem como, o hessiano são, respectivamente:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \mathcal{H}f(x, y) = \begin{bmatrix} 0\:\:&\:\:0\\0\:\:&\:\:0\end{bmatrix}\:\:\:}}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Hf(x, y) = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial em duas variáveis:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 5x\end{gathered}$

Uma vez que queremos montar a matriz hessiana de uma função polinomial em duas variáveis devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{H}f(x, y) = \begin{bmatrix} f_{xx}(x, y)\:\:&\:\:f_{xy}(x, y)\\f_{yx}(x, y)\:\:&\:\:f_{yy}(x, y)\end{bmatrix}\end{gathered}$

Para utilizar a referida fórmula devemos primeiramente:

• Calcular a derivada segunda da função em termos de "x".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xx}(x, y) = f_{x}\left[f_{x}(x, y)\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[1\cdot5\cdot x^{1 - 1}\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[5\cdot x^{0}\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[5\cdot 1\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[5\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{xx}(x, y) = 0\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda da função em termos de "y".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yy}(x, y) = f_{y}\left[f_{y}(x, y)\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[0\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{yy}(x, y) = 0\end{gathered}$

• Calcular a derivada mista da função de "x" em termos de "y".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xy}(x, y) = f_{x}\left[f_{y}(x, y)\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[0\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{xy}(x, y) = 0\end{gathered}$              

• Calcular a derivada mista da função de "y" em termos de "x".

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yx}(x, y) = f_{y}\left[f_{x}(x, y)\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[1\cdot5\cdot x^{1 - 1}\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[5\cdot x^{0}\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[5\cdot 1\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[5\right]\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:f_{yx}(x, y) = 0\end{gathered}$

• Montar a matriz hessiana. Para isso, devemos inserir os valores da derivadas segundas e mistas na equação "I", ou seja:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \mathcal{H}f(x, y) = \begin{bmatrix} 0 \:\:&\:\:0\\0\:\:&\:\:0\end{bmatrix} \end{gathered}$

• Calcular o Hessiano "H" - determinante da matriz hessiana da função. Para isso, fazemos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} Hf(x, y) = \det\mathcal{H}f(x, y)\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\cdot0 - 0\cdot0\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:Hf(x, y) = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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