Question

a função y= x^3-x^2-7x+3/x-3 não esta definida para x=3. o limitr de y quando x --> 3 é:

Answer 1

Dada a função:

$\begin{array}{l}\sf y=\dfrac{x^3-x^2-7x+3}{x-3}\end{array}$

O limite de y quando x tende a 3:

$\begin{array}{l}\sf\underset{\sf x\to3}{\sf lim}~y\\\\\sf\underset{\sf x\to3}{\sf lim}~\bigg(\dfrac{x^3-x^2-7x+3}{x-3}\bigg)\end{array}$

Como foi dito no enunciado, não é definido para x = 3.

Isso por que se substituirmos, resultará numa indeterminação matemática (0/0).

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Desta forma devemos utilizar algum método para fugir disso. Podemos fatorar a expressão, mas ao invés de fazer isso, vamos usar um pouco a regra de L'Hospital:

$\boxed{\begin{array}{l}\sf Sendo: \\\\\sf\underset{\sf x\to p}{\sf lim}~f(x)=\underset{\sf x\to p}{\sf lim}~g(x)=0\\\\\sf Ent\tilde{a}o\:\:usaremos:\\\\\sf\underset{\sf x\to p}{\sf lim}~\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\underset{\sf x\to p}{\sf lim}~\bigg(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\bigg)\end{array}}$

Ou seja, podemos derivar o numerador, e o denominador da expressão.

$\begin{array}{l}\\\sf=\bigg[\dfrac{x^3-x^2-7x+3}{x-3}\bigg]'\\\\\sf=\dfrac{\Big[x^3-x^2-7x+3\Big]'}{\Big[x-3\Big]'}\\\\\sf=\dfrac{[x^3]'-[x^2]'-[7x]'+[3]'}{[x]'-[3]'}\end{array}$

Pelas regras de derivação:

• [xⁿ]' = n * xⁿ⁻¹
• [x]' = 1
• [ax]' = a
• [a]' = 0

$\begin{array}{l}\sf=\dfrac{3\cdot x^{3-1}-2\cdot x^{2-1}-7+0}{1-0}\\\\\sf=\dfrac{3x^2-2x^1-7}{1}\\\\\sf=3x^2-2x-7\\\\\end{array}$

Agora que derivamos a expressão, podemos substituir x por 3 novamente, que não resultará numa indeterminação, veja:

$\begin{array}{l}\sf\underset{\sf x\to3}{\sf lim}~(3x^2-2x-7)\\\\\sf=3(3)^2-2(3)-7\\\\\sf=27-6-7\\\\\sf=14\\\\\end{array}$

Resposta: portanto, o valor do limite da função y quando x tende a 3 é 14

$\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}\sf\underset{\sf x\to3}{\sf lim}~\bigg(\dfrac{x^3-x^2-7x+3}{x-3}\bigg)=14\end{array}}}$

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Att. Nasgovaskov

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