Question

A função y= f (x), y>0, é dada implicitamente por x^2 + 4y^2 =2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa 1.

Answer 1

Podemos fazer isso de dois jeitos:

1) deixar a equacao em termos de y.

2) diferenciar implicitamente.

Irei usar 2.

$x^2+4y^2=2\\\\\\2x+8yy'=0\\\\8yy'=-2x\\\\y'=-\dfrac{x}{4y}$

Agora para montar uma reta precisamos do coeficiente angular (obtido pela derivada) e um ponto (x=1):

Ponto:

$x^2+4y^2=2\\\\(1)^2+4y^2=2\\\\1+4y^2=2\\\\4y^2=1\\\\y^2=\dfrac14\\\\y=\dfrac12$

Coeficiente angular:

$y'=-\dfrac{x}{4y}\\\\y'=-\dfrac{(1)}{4(\frac12)}=-\dfrac12$

Eq da reta:

$y-\dfrac12=-\dfrac12(x-1)\\\\\\y=\dfrac{1-x}{2}+\dfrac12\\\\\\\boxed{y=\dfrac{2-x}{2}}$