Question

a funçao y=A.cos(kx), com A>0 e k>0 e sua derivada y" satisfazem identicamente a igualdade y"+25.y=0. O valor da derivada segunda y", para x=0, é -15. Calcule os valores constantes A e k.

Answer 1

$\boxed{y = A*cos(Kx)}\\\\y'=A*-sen(Kx)*K\to \boxed{y'=-AK*sen(Kx)}\\\\y'' = -AK*cos(Kx)*K\to \boxed{y''=-AK^2*cos(kx)}$

y'' para x=0 é -15
$-15=-AK^2*cos(k*0)\\\\-15=-AK^2 *cos(0)\\\\ \boxed{-15=-AK^2}$

resolvendo a equação
$y'' + 25y = 0 \\\\-AK^2*cos(Kx) + 25*A*cos(Kx) = 0\\\\ \boxed{cos(Kx)*(-AK^2+25A)= 0}$

como é uma multiplicação pra isso dar 0
ou cos(kx) é 0 
ou  -ak²+25a é 0

então
$-AK^2+25A = 0$

como vimos  -AK² =  -15

$-15+25A=0\\\\25A=15\\\\A= \frac{15}{25} \\\\ \boxed{A= \frac{3}{5} }$

voltando na equação anterior e substituindo o valor de A
$-15=-AK^2\\\\15= \frac{3}{5}*K^2\\\\ \frac{15*5}{3}=K^2 \\\\25= K^2\\\\ \sqrt{25}=K \\\\\boxed{5=K}$