Question

A função real de variável real definida por f(x)=(x+2)/(x-2) é invertivel. Se f^-1 é sua inversa, então, o valor de [f(0) + f^-1(0) + f^-1(-1)}^2 é:
gabarito: 9

Answer 1

Olá Bubonem, boa noite!

De acordo com o enunciado, a função f(x) é invertível, portanto bijetora! Então, o domínio de $\mathbf{f(x)}$ é igual à imagem de $\mathbf{f^{- 1}(x)}$ e a imagem de $\mathbf{f(x)}$ é igual ao domínio de $\mathbf{f^{- 1}(x)}$.

 Matematicamente: Sejam A e B o domínio e o contradomínio de f(x), respectivamente, ou seja, a seguinte aplicação $\mathbf{f : A \rightarrow B}$. Então, em se tratando de sua inversa (já que "f" é inversível) temos que: $\mathbf{f^{- 1} : B \rightarrow A}$.

 Isto posto,

$\bullet \quad \mathsf{f(0) = \frac{0 + 2}{0 - 2} \Rightarrow f(0) = - 1}$

 Quanto à inversa:

$\bullet \quad \mathsf{f^{- 1}(0) \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 2} = 0\Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2}$

$\bullet \quad \mathsf{f^{- 1}(- 1) \Rightarrow f(x) = - 1 \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 2} = - 1\Rightarrow x + 2 = - x + 2 \Rightarrow x = 0}$

 Logo,

$\\ \mathsf{\left [ f(0) + f^{- 1}(0) + f^{- 1}(- 1) \right ]^2 =} \\\\ \mathsf{\left ( - 1 - 2 + 0 \right )^2 =} \\\\ \mathsf{(- 3)^2 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{9}}}$

Answer 2

Resposta:

Olá explicando um pouco melhor

Explicação passo-a-passo:

[C]

Tem-se que

x 2 yx 2y x 2

x 2

(y 1)x 2y 2

2y 2

x .

y 1

y



   



   



 





Portanto, sendo

f : {2} {1},   

a inversa de

f

é

1

f : {1} {2}, 

  

com

1 2x 2 f (x) .

x 1

 





Daí, como

f(0) 1,   1

f (0) 2 

 

e

1

f ( 1) 0, 

 

vem

1 1 2 2 [f(0) f (0) f ( 1)] ( 1 ( 2) 0) 9.