Question

A função que é a derivada de segunda ordem da função é

Answer 1

Oi Vanessa :) . Para calcular as derivadas podemos utilizar a regra do quociente. 
$f(x)= \frac{u}{v} =\ \textgreater \ f'(x)= \frac{u'v-uv'}{v^2}$

Calculando a primeira derivada:

$g(x)= \frac{(x-3)}{(x+1)} \\ \\ g(x)= \frac{ (x-3)'(x+1)-(x-3) (x+1)'}{(x+1)^2} \\ \\ g'(x)= \frac{ 1.(x+1)-(x-3).1}{(x+1)^2} \\ \\ g'(x)= \frac{ x+1-x+3}{(x+1)^2} \\ \\ \boxed{g'(x)= \frac{ 4}{(x+1)^2}}$

Calculando a segunda derivada (pela regra do quociente):

$g'(x)= \frac{ 4}{(x+1)^2} \\ \\ g''(x)= \frac{ (4)'((x+1)^2)-(4)((x+1)^2)'}{((x+1)^2)^2} \\ \\ g''(x)= \frac{ 0((x+1)^2)-(4)(2(x+1)^{2-1}.1)}{(x+1)^4} \\ \\ g''(x)= \frac{ -8(x+1)^{1}}{(x+1)^4} \\ \\ \boxed{g''(x)= -\frac{ 8}{(x+1)^3} }$

Obs.: Podemos calcular a segunda derivada de uma outra forma e chegaremos no mesmo resultado:
Inverta a função. Basta trocar o sinal do expoente e colocar a função no numerador. 

$g'(x)= \frac{ 4}{(x+1)^2} \\ \\ g'(x)= 4(x+1)^{-2} \\ \\ g''(x)= -2*4(x+1)^{-2-1} \\ \\ g''(x)= -8(x+1)^{-3} \\ \\ \boxed{ g''(x)=-\frac{8}{(x+1)^3} }$


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