Question

A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c tem raízes

r1 = -1 e r2 = 3 , possuindo vértices no ponto V (1,4).

O conjunto Imagem da função f (x) é?

Answer 1

O conjunto imagem da função f(x) é Im = (-∞,4].

Considere que x' e x'' são as raízes da função quadrática y = ax² + bx + c.

A soma das raízes é definida por x' + x'' = -b/a. O produto das raízes é definido por x'.x'' = c/a.

De acordo com o enunciado, as duas raízes são -1 e 3. Vamos considerar que x' = -1 e x'' = 3.

Sendo assim, temos que:

-1 + 3 = -b/a

2 = -b/a

b = -2a

e

(-1).3 = c/a

-3 = c/a

c = -3a.

As coordenadas do vértice são definidas por:

• xv = -b/2a
• yv = -Δ/4a.

Como o vértice é igual a V = (1,4), então:

4 = -(b² - 4ac)/4a

16a = -b² + 4ac

16a = -(-2a)² + 4a.(-3a)

16a = -4a² - 12a²

16a = -16a²

16a² + 16a = 0

16a(a + 1) = 0

a = 0 ou a = -1.

Não podemos utilizar o valor a = 0, porque a função é quadrática. Sendo assim, a = -1.

Consequentemente, b = 2 e c = 3.

Logo, a função quadrática é f(x) = -x² + 2x + 3.

Note que a concavidade da parábola é para baixo, porque a < 0.

Como a coordenada y do vértice é igual a 4, podemos concluir que a imagem da função f é o intervalo (-∞,4].