Question

A funçao quadratica f(x)=ax2+bx+c assume valor minimo para x=3.se f(0)=25, f(1)=0 entao f(9) é igual a :
A)192
B)184
C)176
D)168
E)160

Answer 1

Boa tarde

f(x) = ax² + bx + c

f(0) = c = 25 
f(1) = a + b + 25 = 0 
f(3) = -delta²/4a 
f(3) = 9a + 3b + 25 = (100a - b²)/4a 

9a + 3b + 25 = 25 - b²/4a 
9a + 3b = -b²/4a 

9a/a + 3b/a + b²/4a = 0 divise por a 
36 + 12b/a + b²/a² = 0 multiplique por 4 

produto notável
36 + 12b/a + b²/a² = (b/a + 6)² = 0
b/a = -6

b = -6a

a + b = -25
a - 6a = -25
-5a = -25
a = 5
b = -6a = -30
c = 25 

f(x) = 5x² - 30x + 25

f(9) = 5*81 - 30*9 + 25 = 160 (E) 

Answer 2

Se a função tem mínimo ⇒ "a" é positivo!!
se para x = 3  (valor positivo) ocorre o mínimo
então "b"  terá de ser negativo!!
logo
-_b_ = 3 ⇒ -b = 6a ⇒ 6a + b = 0  RELAÇÃO I
  2a
a(0)² - b(0) + c = 25   (proposta da questão!!)
então
c = 25
a(1)² +  b(1) + 25 = 0 (proposta da questão)
então
a + b + 25 = 0 ⇒ a + b = -25 RELAÇÃO II
temos o sistema obtido pelas RELAÇÕES I e II
6a + b = 0
a + b = -25  ⇒  multiplicando por "-1" e somando com a 1ª
5a = 25
a = 25/5
a = 5
substituindo "a= 5" na 1ª equação
6(5) + b = 0
30 + b = 0
b = -30
logo  f(x) = 5x² - 30x + 25
f(9) = 5(9)² - 30(9) + 25
f(9) = 5×81 - 270 + 25
f(9) = 405 - 270 + 25
f(9) = 430 - 270
f(9) = 160
Resposta: alternativa E)