Question

a função quadratica f (x) = ax^2+bx+c=0 tem o gráfico que tangeia o eixo das abscissa . sabendo que f (1) =f (3) =2 , determine , b e c

Answer 1

f(1) = a*1² + b*1+c = 2
f(3) = a*3² + b*3 + c = 2
sabemos também que o delta é igual a 0 (pois tangencia o eixo das abscissas)

Sabendo que a Função tangencia o eixo das abscissas sabemos também que existe x1 e x2 iguais e a função quadrática é simétrica, portanto, para f(x) = 0 temos x = (1+3)/2 = 2


1.   f(1) =   a +   b  + c = 2
2.   f(2) = 4a + 2b  + c = 0
3.   f(3) = 9a + 3b  + c = 2

Três variáveis e três equações, temos um sistema.

eq.3 - eq.1:
    9a + 3b + c  = 2
  - (a +   b + c) = 2
    8a  + 2b + 0 = 0
    8a = -2b
    4a =  -b ou b = -4a

eq.1 - eq.2 (subistituindo b por -4a):
1.       a + b + c = a -4a + c = -3a + c = 2
2.       4a + 2b + c = 4a - 8a + c = -4a + c = 0
1-2.    (-3a)-(-4a)+(c)-(c) = a = 2 - 0 = 2 => a = 2

Se a = 2 e b = -4a então b = -8
Se a + b + c = 2 então:
2 - 8 + c = 2
c = 8

Concluindo:
a = 2
b = -8
c = 8