A função quadrática cujo gráfico contém os pontos (0, -9), (1, 0) e (2, 15) tem vértice em:
a) (-2, -13)
b) (1, 0)
c) (0, -9)
d) (2, 15)
e) (-1, -12)
** com cálculo pfv **
Soluções para a tarefa
Dada a função f(x) = ax² + bx + c e os pontos (0 ,-9) ,(1 ,0) e (2 ,15) ,para determinar a função temos que encontrar o valor dos coeficientes a ,b e c.
Para o ponto (0 ,-9)
f(0) = - 9
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = a . 0² + b . 0 - 9
f(0) = - 9
O coeficiente c = - 9.
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Para o ponto (1 ,0)
f(1) = 0
f(x) = ax² + bx - 9
a .. 1² + b . 1 - 9 = 0
a + b - 9 = 0
a + b = 9
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Para o ponto (2 ,15)
f(2) = 15
f(x) = ax² + bx - 9
a . 2² + b . 2 - 9 = 15
4a + 2b - 9 = 15
4a + 2b = 15 + 9
4a + 2b = 24
2(2a + b) = 24
2a + b = 24 / 2
2a + b = 12
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Com isso temos o sistema:
{a + b = 9 (primeira equação)
{2a + b = 12 (segunda equação)
Isolando a na primeira equação;
a + b = 9
a = 9 - b
Substituindo a na segunda equação para encontrar o valor de b;
2a + b = 12
2(9 - b) + b = 12
18 - 2b + b = 12
- b = 12 - 18
- b = - 6
b = 6
Encontrado o valor de b ,trocamos esse valor na primeira equação para encontrar o valor de a.
a = 9 - b
a = 9 - 6
a = 3
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Com isso podemos formar a função dados:
a = 3 ,b = 6 e c = - 9
f(x) = ax² + bx + c
f(x) = 3x² + 6x - 9
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Para determinar o vértice utilizamos as seguintes fórmulas:
Para determinar x;
- b / 2a
Temos: b = 6 e a = 3
- b / 2a =
- 6 / (2 . 3) =
- 6 / 6 = - 1 (este é o valor do vértice para y).
Para determinar y;
- Δ / 4a
Primeiro devemos calcular o valor do discriminante.
Δ = b² - 4.a.c ,onde:
a = 3 ,b = 6 e c = - 9
Δ = 6² - 4 . 3 . (-9)
Δ = 36 + 108
Δ = 144
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- Δ / 4a =
- 144 / (4 . 3) =
- 144 / 12 = - 12 (este é o valor do vértice para x)
Então as coordenadas do vértice é o ponto (- 1 ,-12).
Resposta: e).
