Question

A função L(T) = 5000 x (1,5)^t expressa o lucro L de uma empresa após T meses. Em quanto tempo a empresa atingirá lucro de R$20.000,00? Considere log 4=0,60 e log 1,5=0,06

Answer 1

Resposta:

Dada a função, a empresa atingirá o lucro de R$ 20.000,00 em 10 meses.

Explicação passo a passo:

Dada a função L(t), que expressa o lucro "L" de uma empresa, após "t" meses, e dados o valor do lucro, de R$ 20.000,00, e os logaritmos decimais de 4 e de 6, vamos à resolução da Equação exponencial, também nos valendo dos logaritmos:

$L(t) = 5000.(1,5)^{t}\\20000=5000.(1,5)^{t}\\\frac{20000}{5000} =(1,5)^{t}\\\frac{20}{5} =(1,5)^{t}\\(1,5)^{t}=4$

Agora, vamos trazer a correlação existente entre as funções exponencial e logarítmica:

aⁿ = b ⇔ logₐ b = n

Quando, no logaritmo, a base "a" não está identificada, por convenção assume-se como sendo "10".

Portanto:

$(1,5)^{t} = 4\\log_{1,5}4 = t\\ou\\t = log_{1,5}4$

Porém, como os logaritmos apresentados no enunciado da Tarefa são de base "10", vamos converter o valor de "t", que se encontra na base "1,5", para a base "10", através do emprego da seguinte fórmula:

$log_{x}y=\frac{log{y}}{logx}$

Portanto:

$t = log_{1,5}4\\t=\frac{log4}{log1,5}$

Como log4 = 0,60 e log1,5 = 0,06, temos:

$t=\frac{log4}{log1,5}\\t=\frac{0,60}{0,06}\\t=\frac{(0,60).(100)}{(0,06).(100)}\\t=\frac{60}{6}\\t=10$

Logo, a empresa atingirá o lucro de R$ 20.000,00 em 10 meses.