Question

A função gama é definida, para cada x > 0, por

$\mathsf{\displaystyle\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,u^{x-1}\,du}$

Prove que, para todo x > 0, $\mathsf{\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)}$

Conclua que a função gama interpola os fatoriais, isto é, que todo fatorial pertence à imagem de $\mathsf{\Gamma}$

Answer 1

A função gama é definida da seguinte forma

     $\begin{array}{lccl} \Gamma:&(0,\,+\infty)&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &x&\!\!\mapsto\!\!&\Gamma(x) \end{array}$

onde a lei de $\Gamma$ é fornecida em termos de uma integral imprópria:

     $\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-u}\,u^{x-1}\,du\,,\qquad\forall~ x>0$


Desse modo,

     $\displaystyle \Gamma(x+1)=\int_0^\infty e^{-u}\,u^x\,du$


Desenvolva a integral do lado direito, usando o método de integração por partes:

     $\begin{array}{lcl} v=u^x&\quad\Rightarrow\quad&dv=xu^{x-1}\\\\ dw=e^{-u}\,du&\quad\Leftarrow\quad& w=-e^{-u} \end{array}$


     $\displaystyle\int v\,dw=vw-\int w\,dv\\\\\\ \int_0^\infty u^x e^{-u}\,du=u^x\cdot (-e^{-u})\Big|_0^\infty-\int_0^\infty (-e^{-u})\cdot xu^{x-1}\,du\\\\\\ \int_0^\infty e^{-u}\,u^x\,du=-\,\frac{u^x}{e^u}\bigg|_0^\infty+x\int_0^\infty e^{-u}\,u^{x-1}\,du\\\\\\ \Gamma(x+1)=-\,\frac{u^x}{e^u}\bigg|_0^\infty+x\Gamma(x)$


Perceba que a parcela da soma que aparece com os limites de integração imprópria em $u$ é igual a zero, pois para todo $x>0,$

     •   $\dfrac{0^x}{e^0}=0$

     •   $\lim\limits_{u\to \infty}\dfrac{u^x}{e^u}=0$

     (as exponenciais crescem muito mais depressa que as potências)


Então, de fato teremos

     $\Gamma(x+1)=0+x\Gamma(x)\\\\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$

—————

Calculemos  $\Gamma(0+1)=\Gamma(1):$

     $\displaystyle\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-u}u^{1-1}\,du\\\\\\ \Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-u}\,du\\\\\\ \Gamma(1)=-e^{-u}\Big|_0^\infty\\\\\\ \Gamma(1)=\lim_{u\to \infty}(-e^{-u})-(-e^{-0})\\\\ \Gamma(1)=0+e^0\\\\ \Gamma(1)=1$


Portanto, para $x\in\mathbb{N}\,,$ temos

     $\Gamma(x+1)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,,&\textsf{se }x=0\\\\ x\Gamma(x)\,,&\textsf{se }x>0 \end{array}\right.$


que é exatamente a definição recursiva do fatorial, isto é

     $\Gamma(x+1)=x!\,,\qquad\forall~x\in\mathbb{N}.$


Bons estudos! :-)