Question

a funçaõ f(x,y)= tem x²-y² tem como ponto critico em ( 0,0 ). verifique se é maximo, minimo ou ponto de sela.

Answer 1

Boa tarde!

Calculando as derivadas:
$f_x=\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=2x\\ f_y=\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=-2y\\ f_{xx}=\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{x}^2}=2\\ f_{yy}=\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{y}^2}=-2\\ f_{yx}=\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{x}\partial{y}}=0\\ f_{xy}\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{y}\partial{x}}=0$

Para determinarmos se é máximo, mínimo ou ponto de sela utilizamos a seguinte regra:
$D(a,b)=f_{xx}(a,b)f_yy(a,b)-[f_{xy}(a,b)]^2\\ D(0,0)=(2)(-2)-[0]^2=-4$

Se D > 0 e $f_{xx}(a,b)>0$, f(a,b) é mínimo local,
Se D > 0 e $f_{xx}(a,b)<0$, f(a,b) é máximo local
Se D < 0 f(a,b) não é mínimo nem máximo local (ponto de sela)

Espero ter ajudado!