Question

A função f(x)=cos(x)+sen(x) é injetora? Justifique com cálculos.

Answer 1

Resposta:

A função não é injetora.

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, precisamos entender o que é uma função injetora. As funções injetoras são aquelas as quais existem uma imagem para cada valor do domínio. Assim, não existe dois elementos do domínio com mesma imagem.

Com isso em mente, vamos analisar a função: f(x) = cos(x) + sen(x). Caso analisássemos elas separadamente (função seno e função cosseno), ambas não seriam injetoras, pois existe dois elementos do domínio que resultam na mesma imagem (zero).

Quando somamos as duas, mantemos essa propriedade. Podemos provar isso através de cálculos, uma vez que:

$x=0\\ f(0)=sen(0)+cos(0)=0+1=1\\ \\ x=\pi\\ f(\pi)=sen(\pi)+cos(\pi)=1+0=1$

Veja que existem dois elementos diferentes com mesma imagem. Portanto, essa função não é injetora.