Question

A função f(x)=ax2+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de f (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a, be c)

Answer 1

Boa noite

f(x) = ax² + bx + c 
vértice C(2,6) 
x1 = 5 

4a + 2b + c = 625
a + 5b + c = 0
-b/2a = 2 

b = -4a
4a - 8a + c = 625
a - 20a + c = 0
-4a + c = 6
5a + c = 0
9a = -6
a = -2/3 
b = -4a = 8/3 
c = -5a = 10/3

f(x) = (-2x² + 8x + 10)/3 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Tuttynunes, que a resolução é simples. É apenas um pouquinho trabalhosa, pois se trata de uma equação do 2º grau.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se os valores dos coeficientes "a', "b" e "c" da seguinte função quadrática:

f(x) = ax² + bx + c , sabendo-se que:

i.1) O vértice da parábola da equação acima está no ponto (2; 6)
e
i.2) Uma das raízes é igual a "5".

ii) Agora vamos por parte para encontrar cada um dos coeficientes da equação dada.

ii.1) Se o vértice da equação dada está no ponto (2; 6), então temos que o vértice do gráfico desta equação, que é dada pelo ponto (xv; yv) é o ponto (2; 6), ou seja, temos que: xv = 2; e que yv = 6.
Agora note que tanto o "x" do vértice (xv) como o "y" do vértice (yv) têm uma fórmula específica para encontrar. Então vamos aplicar essas fórmulas:

ii.2) Para o "x" do vértice (xv) a fórmula é esta:

xv = -b/2a ----- como xv = 2, então vamos substituir, ficando:
2 = -b/2a ----multiplicando-se em cruz, teremos:
2*2a = - b
4a = - b --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos;
-b = 4a ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
b = - 4a      . (I)

ii.3) Por sua vez, o "y" do vértice (yv) tem a seguinte fórmula:

yv = -(Δ)/4a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, teremos;
yv = -(b²-4ac)/4a ----- como "yv" é igual a 6, teremos;
6 = -(b²-4ac)/4a ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
4a*6 = -(b²-4ac)
24a = - (b²-4ac) ---- retirando-se os parênteses do 1º membro, ficaremos:
24a = - b² + 4ac ---- como já vimos que b = -4a , conforme a expressão (I) acima, então vamos substituir "b" por "-4a". Fazendo isso, teremos;

24a = -(-4a)² + 4ac ----- desenvolvendo, temos:
24a = - (16a²) + 4ac
24a = - 16a² + 4ac ---- simplificando-se tudo por "a", iremos ficar apenas com:

24 = -16a + 4c  ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
-16a + 4c = 24 ---- simplificando-se tudo por "4", iremos ficar apenas com:
-4a + c = 6 --- passando "-4a" para o 2º membro, teremos:
c = 6 + 4a      . (II)

ii.4) Agora vamos trabalhar com a raiz já conhecida, que é x = 5.

Agora note isto e não esqueça mais: toda raiz zera a equação da  qual ela é raiz. Então, quando substituirmos o "x" por "5" na equação dada [f(x) = ax² + bx + c] vamos igualar f(x) a "0". Então fazendo isso, teremos;

0 = a*5² + b*5 + c
0 = a*25 + b*5 + c
0 = 25a + 5b + c ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo:
25a + 5b + c = 0        . (III)

Mas já vimos que b = - 4a [conforme a expressão (I)] e que c = 6+4a [conforme a expressão (II)]. Então vamos substituir esses valores na expressão (III) acima, e que é esta:

25a + 5b + c = 0 ---- substituindo-se "b" por "-4a" e substituindo-se "c" por "6+4a", teremos:

25a + 5*(-4a) + 6+4a = 0 ---- desenvolvendo, teremos:
25a - 20a + 6+4a = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
9a + 6 = 0
9a = - 6
a = -6/9 ----- simplificando-se numerador e denominador por "3", ficamos:
a = -2/3 <--- Este é o valor de "a".

iii) Agora que já temos que a = -2/3, vamos encontrar os valores de "b" e de "c". Para isso, iremos nas expressões (I) e (II) e, em cada uma delas, substituiremos o valor de "a" por "-2/3". Assim teremos:

iii.1) A expressão (I) é esta:

b = - 4a ---- substituindo-se "a" por "-2/3", teremos:
b = -4*(-2/3)
b = 8/3 <--- Este é o valor do termo "b".

iii.2) A expressão (II) é esta:

c = 6 + 4a ---- substituindo-se "a" por "-2/3", teremos;
c = 6 +4*(-2/3)
c = 6 - 8/3 ----- mmc = 3. Assim, utilizando-o,teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador)?:

c = (3*6 - 1*8)/3
c = (18 - 8)/3
c = (10)/3 -- ou apenas:
c = 10/3 <---Este é o valor do termo "c".

iv) Assim, a função f(x) = ax² + bx + c, após substituirmos "a' por "-2/3", "b" por "8/3" e "c" por "10/3", ficará sendo esta:

f(x) = (-2/3)*x² + (8/3)*x + 10/3 ------ desenvolvendo, teremos:
f(x) = -2x²/3 + 8x/3 + 10/3  <--- Esta é a resposta quanto à forma da de apresentação da função.

Se você quiser, também poderá apresentar a função da seguinte forma, já que o denominador é comum a todos os termos da equação:

f(x) = (-2x² + 8x + 10)/3 <--- A forma de escrita da equação também poderia ficar expressa deste modo.

Mas o certo é que os coeficientes "a", "b" e "c" da equação da sua questão serão estes:

a = -2/3; b = 8/3; c = 10/3 <--- Esta é a resposta quanto ao valor de cada coeficiente da equação f(x) = ax² + bx + c.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.