Question

a função f(x) 1 - x²/2-2x+x² é positiva se , se somente se , x pertece ao intervalo a) (-1,1) b) (-1,1] c) [-1,1] d) (-∞,-1) U (1,+∞) e) (-∞,-1] U [1,+∞)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Breno, que a resolução é simples.
Pede-se o intervalo em que a expressão abaixo será sempre positiva:

f(x) = (1-x²)/(x²-2x+2)

Veja que temos uma equação em que o numerador e o denominador são constituídos por equações do 2º grau.
Faremos o seguinte: chamaremos a equação do numerador de g(x) = 1-x²; e chamaremos a equação do denominador de h(x) = x²-2x+2.
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos encontrar as raízes da equação do numerador, que é esta:

g(x) = 1-x² --- raízes: 1-x² = 0 ---> - x² = -1 --> x² = 1 ---> x' = -1; x'' = 1.

ii) Vamos encontrar as raízes da equação do denominador, que é esta:

h(x) = x²-2x+2 ---> raízes: x²-2x+2 = 0 <--- Veja que esta equação tem o seu delta menor do que zero, significando dizer que ela não tem raízes reais (mas apenas raízes complexas). Quando isso ocorre, "corremos" e vemos qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). Se o termo "a" for positivo, então ela será positiva para todo e qualquer "x" (claro que se o termo "a" fosse negativo, então ela seria negativa para todo e qualquer "x"). Mas como o termo "a" é positivo (pois a equação é h(x) = x²-2x+2), então esta equação será SEMPRE positiva para todo e qualquer valor de "x".

iii) Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações dadas em função de suas raízes. Assim teremos:

a) g(x) = 1-x² ... ....- - - - - - - - - - (-1) + + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - - - - -
b) h(x) = x²-2x+2... + + + + + + + + + +  + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) f(x) = g(x)/h(x) ... - - - - - - - - -(-1)+ + + + + + + +  + (1) - - - - - - - - - - - - - - -

Assim, como você está vendo aí em cima, a função f(x) = g(x)/h(x) será positiva para valores de "x" no intervalo aberto "-1" até "1". Assim, a resposta será:

-1 < x < 1 ---- Esta é a resposta. Opção "a".

Note que também poderemos apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = (-1; 1) <--- A resposta também poderia ser dada desta forma, o que está de acordo com a opção "a".

Aí você ainda poderia perguntar: e porque o intervalo tem que ser aberto e não fechado? Resposta: porque se o intervalo fosse fechado em "-1" e em "1", estaríamos fazendo "zerar" a função g(x),pois como você  deve saber, quem zera uma função são suas raízes. Note que as raízes da função g(x) do numerador são "-1" e "1". Como o enunciado da questão pede para que valores de "x" a função f(x) = g(x)/h(x) será positiva (note que não se fala na possibilidade de ser nula, mas positiva apenas), então é por isso que o intervalo é aberto, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.