Question

A função f de $R*_{+}$ em R é injetora. Se f(x² - 2x) = f(4 + x), então determine x.

Answer 1

Se a função $f$ é injetora, isto significa que elementos diferentes do domínio não podem ter a mesma imagem, ou seja,

Caso $f$ seja injetora,

se $a,\,b \in D\left(f \right )$ e $a \neq b$, então $f\left(a \right ) \neq f\left(b \right )$


Como o domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos, temos restrições para elementos do domínio:

$x^{2}-2x>0\;\;\text{ e }\;\;4+x>0$


Pelo fato de $f$ ser injetora, e no enunciado da questão temos imagens iguais, devemos ter necessariamente valores iguais do domínio.

$f\left(x^{2}-2x \right )=f\left(4+x \right )\;\;\overset{ \text{f \'{e} injetora}}{\Rightarrow}\;\;x^{2}-2x=4+x\\ \\ x^{2}-2x-x-4=0\\ \\ x^{2}-3x-4=0\\ \\ x^{2}+x-4x-4=0\\ \\ x\left(x+1 \right )-4\cdot \left(x+1 \right )=0\\ \\ \left(x+1 \right )\left(x-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+1=0&\text{ ou }&x-4=0\\ \\ x=-1&\text{ ou }&x=4\\ \\ \end{array}$


Verificando se cada uma das possíveis soluções acima satisfazem às restrições do domínio:

$\bullet\;\;$ Para $x=-1$

$\left(-1 \right )^{2}-2\cdot \left(-1 \right )>0\\ \\ 1+2>0\;\;\text{(verdadeiro)}$

$4+\left(-1 \right )>0\;\;\text{(verdadeiro)}$

Logo, $x=-1$ é uma solução possível.


$\bullet\;\;$ Para $x=4$

$4^{2}-2\cdot 4>0\\ \\ 16-8>0\;\;\text{(verdadeiro)}$

$4+4>0\;\;\text{(verdadeiro)}$

Logo, $x=4$ também é uma solução possível.


Sendo assim, $x$ pode assumir dois valores:

$x=-1\;\;\text{ ou }\;\;x=4$