Matemática, perguntado por builtfences, 1 ano atrás

A função f de  R*_{+} em R é injetora. Se f(x² - 2x) = f(4 + x), então determine x.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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Se a função f é injetora, isto significa que elementos diferentes do domínio não podem ter a mesma imagem, ou seja,

Caso f seja injetora,

se a,\,b \in D\left(f \right ) e a \neq b, então f\left(a \right ) \neq f\left(b \right )


Como o domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos, temos restrições para elementos do domínio:

x^{2}-2x>0\;\;\text{ e }\;\;4+x>0


Pelo fato de f ser injetora, e 
no enunciado da questão temos imagens iguais, devemos ter necessariamente valores iguais do domínio.

f\left(x^{2}-2x \right )=f\left(4+x \right )\;\;\overset{ \text{f \'{e} injetora}}{\Rightarrow}\;\;x^{2}-2x=4+x\\ \\ x^{2}-2x-x-4=0\\ \\ x^{2}-3x-4=0\\ \\ x^{2}+x-4x-4=0\\ \\ x\left(x+1 \right )-4\cdot \left(x+1 \right )=0\\ \\ \left(x+1 \right )\left(x-4 \right )=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+1=0&\text{ ou }&x-4=0\\ \\ x=-1&\text{ ou }&x=4\\ \\ \end{array}


Verificando se cada uma das possíveis soluções acima satisfazem às restrições do domínio:

\bullet\;\; Para x=-1

\left(-1 \right )^{2}-2\cdot \left(-1 \right )>0\\ \\ 1+2>0\;\;\text{(verdadeiro)}

4+\left(-1 \right )>0\;\;\text{(verdadeiro)}

Logo, x=-1 é uma solução possível.


\bullet\;\; Para x=4

4^{2}-2\cdot 4>0\\ \\ 16-8>0\;\;\text{(verdadeiro)}

4+4>0\;\;\text{(verdadeiro)}

Logo, x=4 também é uma solução possível.


Sendo assim, x pode assumir dois valores:

x=-1\;\;\text{ ou }\;\;x=4

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