A função custo mensal de fabricação de zíperes de calça jeans na fábrica AZUL é C(x) = 1000x³ + 1000x² + 2000x - 1000 , em que x é a quantidade de zíperes, em milhares de unidades. O preço de venda de 1000 zíperes é de R$ 10.000,00. Sabendo disso:
2.a. Encontre a função lucro.
2.b. Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos
mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da
segunda derivada.
2.c. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o
ponto máximo.
Soluções para a tarefa
Resposta:
As soluções são:
a) A função lucro é dada por L(x) = - 1000x³ - 1000x² + 8000x + 1000.
b) A quantidade de zíperes produzidos e vendidos mensalmente será de 1,3 mil para se obter o lucro máximo.
c) Na figura abaixo.
Explicação passo a passo:
Para responder a esta questão vamos utilizar os conceitos de derivada para identificar pontos de máximo e mínimo de funções.
a. Encontre a função lucro.
Sabemos que o Lucro é sempre igual a Receita menos o Custo.
L(x) = R(x) - C(x)
Como cada 1000 unidades são vendidas por R$ 10000 temos uma receita
R(x) = 10000x, visto que x é a quantidade de zíperes em milhares.
Dessa forma a função lucro será dada por:
L(x) = 10000x - 1000x³ - 1000x² - 2000x + 1000
L(x) = - 1000x³ - 1000x² + 8000x + 1000
b. Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da segunda derivada.
Derivando a função lucro obtemos:
L'(x) = - 3000x² - 2000x + 8000
Igualando a zero temos as seguintes raízes x' = - 2 e x'' = 4/3 que são os pontos críticos da função lucro.
Agora derivando mais uma vez temos:
L''(x) = - 6000x - 2000
L''(- 2) = 12000 - 2000 = 10000 > 0, pelo teste da derivada segunda é um ponto de mínimo.
L''(4/3) = - 8000 - 2000 = - 10000 < 0, pelo teste da derivada segunda é um ponto de máximo.
Assim devem ser produzidas e vendidas mensalmente, aproximadamente, 1,3 mil unidades para se obter um lucro máximo.
c. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.
O gráfico encontra-se na figura abaixo.
