Question

A função custo C(x) é o custo da produção de x unidades de certo produto, e sua derivada é a função custo marginal . Já a função custo médio
é a razão da função custo com a quantidade de unidades produzidas, ou seja, $C(x) = \frac{C(x)}{x}$ . Seja $C(x) = 16000 + 200x + 4x^{\frac{3}{2} }$ a função custo de produção de uma certa mercadoria, determine a produção que minimizará o custo médio. Assinale a alternativa correta:

400 unidades

300 unidades

500 unidades

450 unidades

600 unidades

Answer 1

Resposta: 400 unidades

Explicação passo-a-passo:

** Vamos calcular o ponto crítico da função custo médio:

Custo Médio = Cméd = C(x) / x

>> para continuar, calculamos através da regra do quociente (f/g)'=(f'•g - g'•f) / g²

>> Contudo, a saber que "f= C(x)" e "g= x"

Veja que pela fórmula do quociente temos a derivada de C(x) e "x", então:

f = C(x) = 4x^(3/2) + 200x + 16.000

f' = C'(x) = 4x^(3/2) + 200x + 16.000

f' = (3/2)•4x^(3/2 -1) + 200

f' = 6x^(1/2)+ 200 <<

g = x

g' = 1 <<

>> aplicando a fórmula do quociente com os dados calculados:

Cmed = [6x^(1/2)+200]•x - 1•[4x^(3/2)+200x+16.000] / x²

Cmed = [6x^(3/2)+200x] - [4x^(3/2)+200x+16.000] / x²

Cmed = 6x^(3/2) - 200x - 4x^(3/2) - 200x - 16.000 / x²

Cmed = 2x^(3/2) - 16.000 / x²

>> Por fim, igualando a equação a zero teremos o ponto crítico:

Cmed = 2x^(3/2) - 16.000 / x²

0 = 2x^(3/2) - 16.000 / x²

>> Para "f(x) / g(x) = 0" , temos, "f(x) = 0" , então:

2x^(3/2) - 16.000 = 0

2x^(3/2) = 16000

x^(3/2) = 16000/2

x^(3/2) = 8000

x³ = 8000²

x³ = 64.000.000

x = ³√64.000.000

x = ³√400³

x = 400

>> Como a derivada da função é positiva, temos que o gráfico da sua concavidade é voltada para cima, sendo assim, x= 400 é um ponto MÍNIMO.

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

400

Explicação passo a passo: