Question

A fronteira de uma cidade planejada é uma circunferência de raio 20 km. Para facilitar a localização das pessoas, um sistema de coordenadas cartesianas foi estabelecido com origem no centro dessa circunferência. Uma ferrovia perfeitamente retilínea, que atravessa a cidade, tem seu trajeto definido sobre a reta de equação x − y − 4 = 0. Assim, os pontos em que a ferrovia cruza a fronteira da cidade têm coordenadas

A.
(20;16) e (−16;−20)

B.
(10;14) e (−14;−10)

C.
(14;10) e (−10;−14)

D.
(12;16) e (−16;−12)

E.
(16;12) e (−12;−16)

Answer 1

letra E, exemplo feito no geogebra

Answer 2

Em questões nesse estilo, basta igualar ambas as equações da reta e da circunferência, portanto:

(x- a) ² + ( y -b) ² = r²    ⇒ a/b = origem que no nosso caso = 0

x² + y² = r² 

Equação da circunferência = (x-0)² + (y-0)²  = 20²

 x² + y² = 400


Isolando o y , temos na equação da reta, y = x - 4


Substituindo y na equação da circunferência.

  x² + (x - 4)² = 400  ⇒  x² + x² - 8x + 16 = 400, portanto:


2x²  - 8x - 384 = 0       (simplificando, divide toda a equação por ÷2)

x² - 4x - 192 = 0          ( Aplica-se Báskara)  

b² -4.a.c 

(4)² - 4 . 1 . -192 
16 + 768
784

Δ = 784 

 -b +/- √Δ / 2a

x1 = - (-4) + 28 / 2.1 = 16 

 ⇒ Substitui x1 = 16  

   y = x - 4     y = 16 - 4      y = 12


x2 = -(-4) - 28 / 2 =  -12 

Substitui x2 = -12 

 y = x - 4     y = -12 - 4   y = -16

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Portanto os dois pontos são:

(16, 12) e (-12, -16)