Question

A fórmula'+P(x)y=Q(x), e utilizado quando efetuamos de equações diferenciais lineares de primeira ordem. desta forma,podemos dizer que o fator integrante na EDO dy/dt=3-2y é

Answer 1

$\displaystyle i)~~~~\frac{dy}{dx}=3-2y\\\\ii)~~~y'+2y=3$
multiplicar pelo fator integrante I(x)
$\displaystyle iii)~~I(x)y'+2I(x)y=3I(x)$
considerar que
$2I(x)=I'(x)$
$\displaystyle v)~~~I(x)y'+I'(x)y=3I(x)$
regra do produto: $\displaystyle \frac{d}{dx}I(x)y(x)=I(x)y'(x)+I'(x)y(x)$
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$\displaystyle vi)~~~~\frac{dI}{dx}=2I(x)\\\\vii)~~~\frac{dI}{I(x)}=2dx\\\\viii)~\int\limits_{0}^{I}\frac{di}{i}=\int\limits_{0}^{x}2dX~~~~~~\text{mudanca de variavel pra nao confundir}\\\\ix)~~\ln I=2x\\\\x)~~~\boxed{I(x)=e^{2x}}$
encontramos o fator de integração

Solução:
voltar no passo da regra do produto e comparar com a EDO:
$\displaystyle xi)~~~~\frac{d}{dx}I(x)y(x)=I(x)y'(x)+I'(x)y(x)=3I(x)$
integrar dos dois lados:
$\displaystyle xii)~~~~\int \frac{d}{dx}(I(x)y(x))=\int 3I(x)dx\\\\xiii)~~I(x)y(x)=3\int I(x)dx\\\\xiv)~~y(x)=3I^{-1}(x)\int I(x)dx$
substituir I(x) pelo fator de integração em (xiv)
$\displaystyle xv)~~~y(x)=3e^{-2x}\int e^{2x}dx\\\\xvi)~~y(x)=\frac{3}{2}+3e^{-2x}c_1$
encontramos a solução

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Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

I=e^2x

Explicação passo-a-passo: