Question

A fórmula desenvolvida por Richter é a seguinte:

(Figura 1, em anexo)

onde:

M é a magnitude do terremoto;

A é a amplitude (em milímetros) medida com um sismógrafo;

Δt é o intervalo de tempo (em segundos) entre a onda superficial (S) e a onda de pressão máxima (P).

Para exemplificar a aplicação de tal fórmula, vejamos um gráfico obtido através de um sismógrafo de uma estação localizada no sul da Califórnia.

(Figura 2, em anexo)

Na figura podemos observar que a amplitude A vale 23 mm. A distância entre as ondas P e S é de 24 mm. Logo, sabendo-se que o papel de um sismógrafo "anda" a 1 mm/s, concluímos que Δt = 24 s. Assim, pela fórmula anterior, temos que:

M = log(23) + 3.log(8.24) – 2,92 = 5,28



Também é conhecida uma outra fórmula para o cálculo da magnitude de um terremoto na escala Richter:
(Figura 3, em anexo)
onde:

E é a energia liberada no terremoto em kWh;

E0 é constante e vale 7.10-3 kWh.

Assim, a nova fórmula para o cálculo da intensidade leva em conta a energia, que depende da duração e da potência dos tremores. Além disso, as duas fórmulas são equivalentes, pois um mesmo terremoto deve ter mesma intensidade se calculado por uma ou outra fórmula dentro de uma mesma escala.

a) Considerando o exemplo dado no texto acima, onde M = 5,28, qual deve ser a energia E liberada pelo terremoto?

b) Qual seria a altura da amplitude A, considerando-se o mesmo Δt, se no exemplo dado a magnitude de Richter fosse a metade, isto é, M = 2,79?

Coloquem a resolução por favor

Answer 1

As duas equações de medição são equivalentes.
$M=log(A)+3log(8\delta t)-2,92\\\\ M= \frac{2}{3}log( \frac{E}{E_0}) \\\\ M=M\\\\ log(A)+3log(8\delta t)-2,92=\frac{2}{3}log( \frac{E}{E_0})\\\\ 5,28 = \frac{2}{3}log( \frac{E}{E_0})\\\\ log( \frac{E}{E_0})=7,92$

Algumas propriedades logaritmicas
$log(a*b)=loga+logb\\ log(a/b)=loga-logb\\ loga^b=b*loga$

$log( \frac{E}{E_0})=7,92\\\\ logE-logE_0=7,92\\\\ logE-log7*10^{-3}=7,92\\\\ logE-(log7+log10^{-3})=7,92\\\\ logE-log7+3log10=7,92\\\\ logE-log7+3=7,92\\\\ logE-log7=4,92\\\\ logE=4,92+log7\\\\ logE=5,765\\\\ 10^{5,765}=E\\\\ E=582103,22$


b) Como o tempo é igual nas duas medições
$(I) \ \ \ log(23)+3log(8*24)-2,92=5,28\\\\ 3log(8*24)=8,2-log(23)\\\\\\ (II) \ \ \ log(A)+3log(8*24)-2,92=2,79\\\\ 3log(8*24)=5,71-log(A)\\\\\\ (I)=(II)\\\\ 8,2-log(23)=5,71-log(A)\\\\ 8,2-5,71-log(23)=-log(A)\\\\ 2,49-log(23)=-log(A)\\\\ log(A)=log(23)-2,49$