Question

a forma trigonométrica do numero complexo z= -1 -i √3

Answer 1

Boa tarde.

Definições:

$\star \ \boxed{\boxed{\mathsf{z = a+bi\Rightarrow \ \ Re(z) = a, \ \ \ Im(z) = b}}}$

O argumento arg(z) é o ângulo que satisfaz:

$\mathsf{cos(arg \ z) = \dfrac{Re(z)}{|z|}}\\ \\ \\ \mathsf{sen(arg \ z) = \dfrac{Im(z)}{|z|}}$

$\star\ \boxed{\boxed{\mathsf{|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}}}}$

Para o argumento, devemos analisar o sinal de Re(z) e de Im(z) para ver em qual quadrante está o arco. Dois valores positivos no primeiro quadrante, dois negativos no terceiro...

Notação trigonométrica:

$\star\ \boxed{\boxed{\mathsf{z = a+bi\iff z = |z|(cos(arg\ z) + i\cdot sen(arg\ z)) \equiv z = |z|cis(arg \ z)}}}$

Calculamos o argumento:

$\mathsf{cos(arg \ z) = \dfrac{-1}{\sqrt{1 + 3}}= -\dfrac{1}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{sen(arg\ z)=-\dfrac{\sqrt3}{2}}$

Vemos que:

$\mathsf{arg(z) = \dfrac{4\pi}{3} }$

Como |z| = 2, vem:

$\mathsf{z = 2(cos \ \dfrac{4\pi}{3} \ \ +\ \ i\cdot sen\ \dfrac{4\pi}{3} )}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{z = 2cis\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}}$