Question

A forma trigonométrica do número complexo abaixo é: *

Z=4√3 +4i


a) Z=64(cos45°+isen45°)


b) Z=8(cos60°+ isen60°)


c) Z=4(cos60°+isen60°)


d) Z=8(cos30°+isen30°)


e) Z=8(cos30°+isen30°)​

Answer 1

Temos o seguinte número complexo:

$z = 4 \sqrt{3} + 4i$

→ Em um número complexo na forma algébrica possuímos um elemento real e um imaginário, sendo o real sem a letra "i" e o imaginário com, os elementos do número fornecido são:

$\begin{cases} a = 4\sqrt{3} \\ b = 4 \end{cases}$

❑ Módulo:

• O módulo é a distância da origem do plano de Argand-Gauss até o afixo, vulgo coordenada do elemento real com o imaginário, ele pode ser calculado através de Pitágoras:

$\rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{(4 \sqrt{3} ) {}^{2} + 4 {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{16.3 + 16} \\ \rho = \sqrt{48 + 16} \\ \rho = \sqrt{64} \\ \rho = 8$

❑ Argumento:

• O argumento é o ângulo formado em relação ao eixo real (eixo x), ele pode ser calculado através das relações trigonométricas seno e cosseno:

$\sin \theta = \frac{b}{ \rho} \: \: \: e \: \: \: \cos \theta = \frac{a}{ \rho} \\ \\ \sin = \frac{4}{8} \: \: \: e \: \: \: \cos \theta = \frac{4 \sqrt{3} }{8} \\ \\ \sin \theta = \frac{1}{2} \: \: \: e \: \: \: \cos \theta = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Agora devemos encontrar o ângulo que possua o seno igual a 1/2 e o cosseno igual a √3/2, certamente esse ângulo está no primeiro quadrante onde o cosseno e o seno são positivos, você pode usar os cálculos trigonométricos e tudo mais, mas também pode apenas observar a Tabela de arcos notáveis, fazendo isso você vai ver que o ângulo corresponde a esses valores é 30°.

❑ Forma trigonométrica:

A fórmula é dada por:

$z = \rho(cos \theta + isen \theta)$

Substituindo os dados:

$z = 8(cos30 {}^{ \circ} + isen30 {}^{ \circ} )$

Espero ter ajudado

Answer 2

z = 4$\sqrt{3}$ + 4.i

Calcula o módulo :

|z| = $\sqrt{a^{2} + b^{2} }$

|z| = $\sqrt{(4\sqrt{3} )^{2} + 4^{2} }$

|z| = $\sqrt{16 . 3 + 16}$

|z| = $\sqrt{48 + 16}$

|z| = $\sqrt{64}$

|z| = 8

Calcula o angulo Seno :

Seno θ = $\frac{b}{|z|}$

Seno θ = $\frac{4}{8}$

Seno θ = 0,5

θ = Seno a -1 de 0,5

θ = 30°

Calcula o angulo Cosseno :

Cose θ =  $\frac{a}{|z|}$

Cose θ = $\frac{4\sqrt{3} }{8}$

Cose θ = $\frac{\sqrt{3} }{2}$

θ = cosseno a -1 de $\frac{\sqrt{3} }{2}$

θ = 30°

Formula trigonometrica :

Z = |z| . ( cose θ + i seno θ )

Substituindo fica :

Z = 8.(cose 30° + i seno 30° )