Question

A forma trigonometria (ou polar) do número complexo 1-i/(1+i)² tem argumento igual a: A) 45° B) 90° C) 135° D) 225° E) 315° PS: NO GABARITO DEU 225, QUERO SABER O MOTIVO.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dispalystyle{d)~225\°}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades da divisão de complexos na forma trigonométrica e de potência destes números.

Seja a divisão entre complexos:

$\dfrac{1-i}{(1+i)^2}$

Consideremos $z_1=1-i$ e $z_2=1+i$.

Perceba que temos a divisão  $\dfrac{z_1}{{z_2}^2}$

Porém, podemos observar que $z_2=\overline{z_1}$, ou seja, ele é o conjugado do outro número.

Dessa forma, reescrevemos a fração da seguinte forma para ficar mais simples de enxergar:

$z_1\cdot \dfrac{1}{{z_2}^2}$

Aplicando a propriedade de potência, temos

$z_1\cdot \left(\dfrac{1}{z_2}\right)^2$

Assim, como $z_2=\overline{z_1}$, sabendo que $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$, teremos

$z_1\cdot {z_1}^2$

Multiplicando os complexos, temos

${z_1}^3$

Agora, utilizaremos a Fórmula de De Moivre para a potência de números complexos.

Considere que sua forma trigonométrica será: $z_1=\rho_1\cdot (\cos(\theta_1)+i\cdot\sin(\theta_1))$, tal que $\rho_1$ é o módulo do número complexo.

Sendo sua forma algébrica $z_1=a+bi$, seu módulo será $\rho_1=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\theta_1=\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

Substituindo os valores que conhecemos, visto que $z_1=1-i$, teremos $a=1$ e $b=-1$, logo:

$z_1=\sqrt{1^2+(-1)^2}\cdot\left(\cos\left(\arctan\left(\dfrac{-1}{1}\right)\right)+i\cdot\sin\left(\arctan\left(\dfrac{-1}{1}\right)\right)\right)$

Sabendo que $\arctan(-1)=-\arctan(1)=-\dfrac{\pi}{4}$, temos

$z_1=\sqrt{1+1}\cdot\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\\\\\\ z_1=\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

Então, aplicamos a fórmula de De Moivre: $z^n=\rho^n\cdot(\cos(n\cdot \theta)+i\cdot\sin(n\cdot \theta))$, com $n=3$, teremos

${z_1}^3={\sqrt{2}}^3\cdot\left(\cos\left(3\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)+i\cdot\sin\left(3\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)\right)$

Multiplique os valores e calcule as potências

${z_1}^3=2\sqrt{2}\cdot\left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\right)$

Então, para determinarmos o argumento, devemos encontrar a primeira determinação positiva do arco. Como se trata de um número negativo, some-o a $2\pi$:

$2\pi-\dfrac{3\pi}{4}$

Some as frações

$\dfrac{8\pi-3\pi}{4}\\\\\\ \dfrac{5\pi}{4}$

Considerando $\pi~rad=180\°$, finalmente teremos

$\dfrac{5\cdot 180\°}{4}\\\\\\ 225\°$

Este é o argumento do número complexo resultante dessa divisão e é a resposta contida na letra d).