Question

A forma simplificada da expressão [(n + 1)! + n!]/(n + 1)! é dada por:

a) 1/(n + 2)
b) n!/(n + 1)
c) 1 + 1/(n + 1)
d) n + 1/(n + 1)
e) n + 1/(n + 2)

Answer 1

Antes de tudo, note que é imprescindível a realização de uma análise relacionada às Condições de Existência (C.E.) da seguinte fração algébrica constituída por expressões fatoriais:

$\mathsf{\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}\qquad (i)}$

Baseado nisso, obtém-se a seguinte restrição para a variável n:

$\mathsf{\qquad\ \ \ \,\exists~~\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}}\\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \exists~\,\big(n+1\big)!\quad~e~\quad \exists~\,n!}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n+1\ \in\ \mathbb{N}\quad~e~\quad n\ \in\ \mathbb{N}}\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n\ \in\ \mathbb{Z},\, n\geq-1\quad~e~\quad n\ \in\ \mathbb{N}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n\ \in\ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots\}}$

Postas todas as condições acima, podemos dar seguimento a esta resolução. O exercício solicita a máxima simplificação do quociente de termos fatoriais explícito em (i), com isso faz-se necessário ter conhecimento do seguinte resultado:

$\mathsf{k!=k \cdot \big(k-1\big) \cdot \big(k-2\big) \cdot \big(k-3\big)\,\cdots\,\, 3 \cdot 2 \cdot 1,\ \forall\ k\ \in\ \mathbb{N^{*}}}$

A igualdade acima fornece o resultado de k! (fatorial de k), sendo válida para qualquer que seja o valor inteiro positivo atribuído a k. Sem mais delongas, a expressão (i) equivaler-se-á:

$\mathsf{\qquad\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{\big(n+1\big) \cdot n! +n!}{\big(n+1\big)\cdot n!}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{\diagup\!\!\!\!n!\cdot\big[\big(n+1\big)+1\big]}{\diagup\!\!\!\!n!\cdot\big(n+1\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\quad\dfrac{\big(n+1\big)+1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\quad 1+\dfrac{1}{n+1}}$

Alternativa correta: c).

Um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

[(n + 1)! + n!]/(n + 1)!

=(n + 1)! /(n+1)!  + n!/(n+1)!

= 1 + n!/(n+1)*n!

=1 +1/(n+1)

Letra C