Question

A forma de uma colina numa área de preservação ambiental, pode ser descrita pela
equação y = −x2 + 17x − 66, sendo 6 ≤ x ≤ 11. Um caçador, munido de um rifle está localizado no ponto (2, 0). A partir de que ponto da colina, a fauna estará 100% segura?

Answer 1

Colina em forma de parabola
$y=-x^2+17x-66 \\\\\ \boxed{6 \leq x \leq 11}$ 

o caçador está no ponto 
$A=(2,0)$

supondo que o tiro desse rifle saia em linha reta
ele podera atirar em varios pontos do lado esquerdo dessa parabola 
o lugar mais alto que ele pode atingir, será uma reta tangente a essa parabola
então é só calcular a reta tangente a parabola que passa pelo ponto A 
e encontrar o ponto de tangencia P


$P=(xo,yo)$

calculando parabola no ponto P
$\boxed{yo =-(xo)^2 + 17*xo -66}$

equação da reta tangente
$\boxed{y=f'(x)*(x-x0) + y0}$

$f(x) = -x^2+17x-66\\\\ \boxed{ f'(x) = -2x+17}$

calculando f'(xo) vc tem o coeficiente angular no ponto de tangencia P
essa reta passa pelo ponto x=2 e y=0 
logo
reta a tangente será
$0=f'(xo)*(2-xo)+yo\\\\\boxed{0=(-2xo+17)*(2-xo)+yo}$

como tinhamos visto antes 
$\boxed{\boxed{yo =-(xo)^2 + 17*xo -66}}$

substituindo o valor de yo na equação da reta tangente
$\boxed{0 =(-2xo+17)*(2-xo)-xo^2 +17xo -66}$

vou chamar xo de x ..porque to com preguiça kk
$0=(-2x+17)*(2-x)-x^2+17x-66\\\\0=-4x+2x^2+34-17x-x^2+17x-66\\\\ \boxed{0=x^2-4x-32}$

resolvendo a equaçao do segundo grau vc encontra
xo = -4   ou xo = 8 

como a colina só existe para x≥6

resposta xo=8
logo para qualquer x>8 a fauna estará segura pois o atirador não ira conseguir a atingir nenhum ponto para x>8 

e se xo =8 
$yo =-(xo)^2 + 17*xo -66}\\\\yo=-(8^2)+17*8 -66\\\\yo =6$