Matemática, perguntado por biasalu11, 11 meses atrás

a forma algébrica do número complexo z= 2(1+i)²/(1-i)³ onde i é a unidade imaginária, é:
a) z=1+i
b) z=1-i
c) z=i-1
d) z=-1-i
e) z=0

Soluções para a tarefa

Respondido por marcos4829
3

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos começar resolver esses produtos notáveis e devemos lembrar que i² = -1.

(1 + i).(1 + i) =  \\  = 1.1 + 1.i + 1.i +   i.i \\  = 1 + i + i + i {}^{2}  \\  = 1 + 2i  - 1 \\  =  \red{\boxed{2i}} \\  \\ (1  -  i) {}^{3}  = (1 - i) {}^{2} .(1 - i) \\  (1 - i).(1 - i).(1 - i) \\ (1.1 - 1.i - 1.i - i.( - i)) .(1 - i)\\ (1 - i - i + i {}^{2} ).(1 - i) \\ (1 - 2i - 1).(1 - i) \\ ( - 2i).(1 - i) \\  - 2i.1 - 2i.( - i) \\  - 2i + 2i {}^{2}  \\  - 2i  + 2.( -1) \\    \red{\boxed{- 2i - 2}}

Sabendo da expansão dessas expressões, vamos substituir os valores nos seus respectivos locais.

 z = \frac{2.(2i)}{( - 2i - 2)}  \\

Podemos colocar em evidência o número "2".

z =  \frac{2.(2i)}{2.( - i - 1)}

Corta o "2" do numerador e o "2" do denominador.

z =  \frac{2i}{ - i - 1}  \\

Note que resultou em uma divisão de números complexos, nesse tipo de divisão devemos multiplicar o numerados e o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja, o sinal oposto apenas da parte imaginaria.

 \frac{2i}{ - i - 1} . \frac{i - 1}{i - 1}  =  \frac{2i.(i - 1)}{ - i.i - i.( - 1) - 1.i - 1.( - 1)} =   \\  \\  =  \frac{2i {}^{2} - 2i }{ - i {}^{2} + i - i + 1 }  \\  \\  =  \frac{2.( - 1) - 2i}{ - ( - 1) + 1}  \\  \\  =  \frac{ - 2 - 2i}{1 + 1}  \\  \\  =  \frac{ - 2 - 2i}{2}  \\  \\  =  \frac{2.( - 1 - i)}{2}  \\  \\  =  \red{ \boxed{ - 1 - i}}

Portanto temos que a forma algebrica é:

 \red{\huge \boxed{z =  - 1 - i}}

Letra d)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

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