Question

A fim de movimentar simultaneamente duas contas, uma pessoa aplica, na mesma data, diferentes quantias de dinheiro em duas poupanças diferentes, mas de mesmo rendimento. Na poupança A, essa pessoa aplica R$ 2750,00 e, na poupança B, R$ 2000,00. Cada poupança rende 2% ao mês a regime de juros compostos, e, além disso, essa pessoa tem R$ 935,00 guardados em seu cofre. Ela decide que só retirará o dinheiro das poupanças quando o valor acumulado na poupança A for igual ou maior que o valor acumulado na poupança B somado ao valor guardado no cofre. Se necessário, utilize 0,009 como aproximação para log(1,02); 2,88 como aproximação para log(750); 2,97 como aproximação para log(935). Depois de pelo menos quanto tempo, em meses, essa pessoa poderá retirar seus investimentos das contas poupança?

Answer 1

Podemos calcular juros compostos com a seguinte fórmula:

$M = C(1+i)^t$

Onde C é o capital investido, i a taxa, t o tempo e M o montante final que a pessoa adquire, ou seja, a soma do capital inicial com os juros que ele rendeu.

Vamos fazer o cálculo para cada uma das poupanças.

• Poupança A

$M = 2750(1+0,02)^t$

• Poupança B

$M = 2000(1+0,02)^t$

Ele retira o dinheiro quando o montante da poupança A for maior ou igual ao da poupança B mais os 935 do cofre.

$2750\cdot 1,02^t \geq 2000\cdot 1,02^t + 935$

Primeiro vamos manipular a equação para que ela se torne mais fácil de resolver.

$2750\cdot 1,02^t -2000\cdot 1,02^t \geq 935\\\\\\1,02^t (2750-2000) \geq 935\\\\1,02^t \cdot 750 \geq 935$

E aplicamos logaritmo dos dois lados para encontrar o valor de t.

$log (1,02^t \cdot 750) \geq log (935)\\\\log 1,02^t + log 750 \geq log 935\\\\t\cdot log 1,02 + log 750 \geq log 935$

Usando as aproximações dos logs dadas no enunciado:

$t\cdot 0,009 + 2,88 \geq 2,97\\\\0,009t \geq 2,97 - 2,88\\\\0,009t \geq 0,09\\\\t \geq 10$

O tempo de investimento deve ser maior ou igual a 10 meses.

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