Question

A figura representa uma área sombreada limitada pelos gráficos das funções y = sen x e y = – sen x, no intervalo: .

Determine essa área.

Answer 1

Para a área sombreada, temos o seguinte:

$\left ( \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx - \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {-sin(x)} \, dx \right) + \left( \int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} } {-sin(x)} \, dx - \int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} }{sin(x)} \, dx \right )$

Logo :

$\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx + \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx -\int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} } {sin(x)} \, dx - \int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} }{sin(x)} \, dx \\ \\ \\ 2\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx -2\int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} } {sin(x)} \, dx$

Assim temos:

$2\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx = (-2cos(x))^{ \frac{\pi}{2} }_{0} = -2cos( \frac{\pi}{2} )+ 2cos(0) = 2 \cdot 1 = 2 \\ \\ 2\int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} } {sin(x)} \, dx = (-2cos(x))^{0}_{ -\frac{\pi}{2} } = -2cos(0) +2cos( -\frac{\pi}{2} ) = -2 \cdot 1 = -2$

Logo, a área sombreada é:

$2\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_{0} {sin(x)} \, dx -2\int\limits^{ 0 }_{ -\frac{ \pi }{2} } {sin(x)} \, dx = 2 - (-2) = 2 + 2 = \boxed{4}$