Question

A figura mostra um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa AC, com A (2,7) , B (7,2) e C (k, k – 5).



Sabendo que a área do triângulo ABC é 15 cm², o valor da abscissa do ponto C é​

Answer 1

Resposta:

k = 10

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, veja que podemos escrever os lados AB e BC do triângulo retângulo em função dos pontos fornecidos.

Note que cada um é uma hipotenusa de outro triângulo retângulo. Desse modo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para relacionar essas medidas com a incógnita "k". Assim, obtemos as seguintes relações:

$(AB)^2=(7-2)^2+(7-2)^2\\ (AB)^2=5^2+5^2\\ (AB)^2=50\\ AB=\sqrt{50}\\ \\ (BC)^2=(k-7)^2+(k-5-2)^2\\ (BC)^2=2(k-7)^2\\ BC=(k-7)\sqrt{2}$

Note também que foi fornecida a área do triângulo, a qual podemos calcular utilizando as medidas de base e altura. Substituindo as relações encontradas anteriormente, podemos determinar o valor de "k". Portanto, o valor de "k" será:

$A=\frac{(AB)(BC)}{2}=15\\ \\ \sqrt{50}\times (k-7)\times \sqrt{2}=30\\ \\ 10(k-7)=30\\ \\ k-7=3\\ \\ \boxed{k=10}$