Question

A figura mostra um retângulo ABCD de lado AD=4 cm, e onde M é o ponto médio do segmento AB

Sabendo que os segmentos AC e DM são ortogonais, calcule a área do retângulo ABCD.



24 cm2


16cm2


8 cm2


32 cm2

Answer 1

A área do retângulo é 16√2 cm².

Chamaremos o lado AB de x, então como M é ponto médio, temos que AM = MB = x/2. Seja a interseção das retas o ponto O, temos que a altura do triângulo AMO (de base AM) vale h e a altura de DCO (de base DC) vale 4-h.

Fazendo semelhança de triângulos entre AMO e DCO:

(x/2)/x = h/(4-h)

x(4-h)/2 = xh

4-h = 2h

3h = 4

h = 4/3

Logo, temos que a altura de DCO vale 8/3.

Agora, imagine uma reta paralela a AB que passa por O, a interseção desta reta com o lado AD é o ponto E e com o lado BC é o ponto F. Sendo y a altura do triângulo AEO, temos que a altura de OFC é x-y. Aplicando a semelhança de triângulos:

(4/3)/(8/3) = y/(x-y)

4/8 = y/(x-y)

4x - 4y = 8y

4x = 12y

y = x/3

Assim, EO = x/3 e OF = 2x/3. Utilizando a relação métrica em ODC, temos:

(8/3)² = (x/3)(2x/3)

64/9 = 2x²/9

64 = 2x²

x² = 32

x = 4√2 cm

Logo, a área do retângulo é 4.4√2 = 16√2 cm².