Question

A figura mostra um quadrilátero dividido em 4 quadriláteros menores, todos com
um vértice K comum. Os pontos indicados com outras letras dividem os lados do quadrilátero original em 3 partes iguais. Os números indicam a área do quadrilátero em
que estão escritos. Qual é a área do quadrilátero cinza?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 6,5 (E) 7

Answer 1

Resposta:

Letra E

Explicação passo-a-passo:

Estava na prova do canguru nível S

Answer 2

A área do quadrilátero cinza é 6 u.a. (Alternativa C)

Para alcançar a solução correta, partimos do fato que triângulos de mesma base e mesma altura têm a mesma área.

Comecemos a resolução da questão nomeando os vértices do quadrilátero original usando as letras A, B, C e D no sentido anti-horário começando do vértice inferior esquerdo (Ver figura).

Em seguida, trace os segmentos de reta de reta: UK, AK, VK, DK, QK, CK, RK e BK (Ver figura).

Como são triângulos de mesma base e mesma altura, tem mesma área os triângulos:

• ΔAUK, ΔUTK e ΔTBK (De amarelo na figura)
• ΔBSK, ΔSRK e ΔRCK (De rosa na figura)
• ΔCQK, ΔQPK e ΔPDK (De verde na figura)
• ΔDWK, ΔWVK e ΔVAK (De azul na figura)

Sejam $x$, $y$, $z$ e $k$ a área dos triângulos como segue (Ver figura):

• $x$ é a área dos triângulos ΔAUK, ΔUTK e ΔTBK
• $y$ é a área dos triângulos ΔBSK, ΔSRK e ΔRCK
• $z$ é a área dos triângulos ΔCQK, ΔQPK e ΔPDK
• $k$ é a área dos triângulos ΔDWK, ΔWVK e ΔVAK

Logo, pela figura:

$\begin{cases} 2x+2z=18 \\ z+k=8\\ 2k+2y=10\end{cases}$

Isolando $z$ na primeira equação:

$z=9-x$

Substituindo a primeira equação na segunda e isolando $k$:

$k=x-1$

Substituindo $k$ na terceira equação,

$\begin{equation}2(x-1) + 2y = 10\\2x-2+2y = 10 \\2x+2y = 12 \nonumber\\x+y = 6 \nonumber\end{equation}$

Observe que a soma $x+y$ é exatamente a área da região procurada.

Logo, a área do quadrilátero cinza é 6 u.a. (Alternativa C)

Outras questões relacionadas:

https://brainly.com.br/tarefa/19813950

https://brainly.com.br/tarefa/29448378