Question

A figura mostra um quadrilátero convexo ABCD de área 1e pontos P, Q, R e S tais que AP=AB/3, BQ=BC/3, CR=CD/3 e DS=DA/3.
Qual é a área do quadrilátero PQRS?

Answer 1

Olá,

Para calcular a área do quadrilátero PQRS usaremos a seguinte estratégia:

- Somar as áreas dos triângulos APS, BQP, CRQ e DSR e subtrair da área total do quadrilátero ABCD.

Primeiro, considere a diagonal BD do quadrilátero ABCD. Essa diagonal o divide nos triângulos ABD e CDB.

No segmento AS, considere S’ o ponto médio; assim, AS'=$\frac{AD}{3}$.

Temos que AP = $\frac{AB}{3}$ e AS’ = $\frac{AD}{3}$.

Pela recíproca do Teorema de Tales, temos que o segmento PS’ é paralelo ao segmento BD. Logo, os triângulos APS’ e ABD são semelhantes, a razão de semelhança é 1/3 e, a razão entre as áreas desses triângulos é 1/9, ou seja,

Área do triângulo APS´ = $\frac{1}{9}$ Área do triângulo ABD

Como S´ é o ponto médio do segmento AS, e os triângulos APS' e APS têm a mesma altura, segue que

Área do triângulo APS´ = $\frac{1}{2}$ Área do triângulo APS

Dessas igualdades, segue que

Área do triângulo APS = $\frac{2}{9}$ Área do triângulo ABD

Da mesma forma, verificamos que

Área do triângulo CRQ = $\frac{2}{9}$ Área do triângulo CDB

Somando os termos das duas últimas igualdades, e considerando que a área do quadrilátero ABCD é 1, temos que:

Área do triângulo APS + Área do triângulo CRQ = $\frac{2}{9}$ (Área do triângulo ABD + Área do triângulo CDB) = $\frac{2}{9}$ Área ABCD = $\frac{2}{9}$

De maneira análoga, verificamos que a soma das áreas dos triângulos BPQ e DRS também é igual $\frac{2}{9}$.

Portanto, a área do quadrilátero PQRS será igual a $1 - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9}$.

Espero ter ajudado. Abraços =D