Question

A figura mostra um quadrado APQR inscrito em um triângulo retângulo ABC.

a) Mostre que os triângulos ABC, PBQ E RQC são semelhantes entre si.

b) Sendo AB= 2m e AC= 3m, calcule a medida do lado do quadrado APQR.

Answer 1

a) Como APQR é um quadrado, então AR // PQ e, por consequência, AC //PQ.

Perceba que os triângulos ΔABC e ΔPBQ possuem um ângulo em comum. Portanto, ΔABC ~ ΔPBQ

Da mesma forma, temos que AP // RQ e, por consequência, AB //RQ. 

Os triângulos ΔABC e ΔRQC possuem um ângulo em comum. 
Portanto, ΔABC ~ ΔRQC

Os triângulos ΔPBQ e ΔRQC também são semelhantes entre si, pois possuem um ângulo em comum e lados paralelos.

b) Vamos chamar o lado do quadrado de x.

Então, AP = x e PB = 2 - x

Então, por semelhança, temos que:

$\frac{2-x}{x} = \frac{2}{3}$
6 - 3x = 2x
6 = 5x
x = 1,2 m

Portanto o lado do quadrado mede 1,2m