Question

A Figura mostra um hexágono regular e um triângulo sombreado com vértices nos pontos médios de três lados do hexágono

Se o lado desse hexágono mede 4 cm, a área do triângulo, cm cm, vale

A.
$3 \sqrt{3}$
B.
$4 \sqrt{2}$
C.
$6 \sqrt{3}$
D.
$8 \sqrt{2}$E.
$9 \sqrt{3}$


​

Answer 1

A área do triângulo, em cm², vale 9√3.

Perceba que o triângulo é equilátero, pois os três lados possuem a mesma medida.

Observe a figura abaixo. A área do triângulo será igual a área do hexágono menos as três áreas dos trapézios.

No trapézio da figura, observe o triângulo retângulo de catetos h e x. O ângulo oposto a h mede 60°.

Sendo assim, temos que:

sen(60) = h/2

√3/2 = h/2

h = √3 cm

e

cos(60) = x/2

1/2 = x/2

x = 1 cm.

Assim, temos que a base maior do trapézio mede 6 cm.

Sabendo que a área de um hexágono regular é igual a 6 vezes a área de um triângulo equilátero, temos que:

$A=6.\frac{4^2\sqrt{3}}{4}-3\frac{(6+4).\sqrt{3}}{2}$

A = 24√3 - 3.5√3

A = 24√3 - 15√3

A = 9√3 cm².