Question

A figura mostra um dique e parte do reservatório de água doce represada atrás dele. o dique é feito de concreto com densidade 3200kg/m^3 e tem as dimensões mostradas. a força exercida pela água empurra, horizontalmente, a parede do dique e encontra uma resistência criada pela força de atrito estático entre o dique e a fundação rochosa em que ele se assenta. o coef de atrito é 0,47. calcule o fator de segurança contra deslizamento, ou seja, a razão entre a força de atrito máxima possível e a exercida pela água.
d=24m
H=71m
W=180m
h=48m
ρ(densidade concreto)=3200kg/m^3
μ=0,47

Answer 1

Resposta:

2,23

Explicação:

precisamos calcular a força da água no dique e a força de atrito estático

força da água no dique:

para calcular, devemos entender que a força da água na parede do dique irá aumentar conforme maior for a profundidade, pois a pressão aumentará. podemos utilizar a definição de pressão para elemento infinitesimal:

$P=\frac{dF}{dA}$

isolando F, pois é nela que estamos interessados:

$dF=P*dA\\dA=W*dy$

sendo dy o elemento infinitesimal de altura do dique. assim:

$dF=P*W*dy$

com isso, devemos integrar agora a equação obtida, já que queremos a soma de todas as forças conforme a altura do dique varia.

$F=\int\limits^h_0 P*W*{} \, dy$

para integrar o lado direito da equação, devemos saber como a pressão varia, e pra isso devemos usar a Lei de Stevin:

$P=P_{0}+p_{a}gy\\sendo:\ p_{a}\ a\ densidade\ da\ agua\\g\ a\ gravidade\\P_{0}=0$

assim:

$F=W\int\limits^h_0 {p_{a}gy} \, dy$

W sai pra fora da integral, pois é constante.

agora integrando, temos:

$\boxed{F=\frac{W*p_{a}*g*h^2}{2}\\}$                                 (1)

agora temos a força total que a água exerce na parede do dique.

força de atrito estático do dique:

a força que a água precisa fazer para que o dique se mova é o atrito estático, e é dado por:

$F_{at}=M*N$

onde M é o coeficiente de atrito, dado pelo problema,

e N é a força normal do dique sobre o local em que ele está, que, neste caso, como é uma superfície plana horizontal, é:

$N=P_{d}=m*g$

em que m é a massa do dique, que é possível conseguir utilizando a formula de densidade, já que temos o volume do dique e também a densidade do concreto. assim:

$p_{c}=\frac{m}{V}\\m=p_{c}*WHd\\onde\ p_{c}= densidade\ do\ concreto$

dessa forma, já temos tudo para conseguir a expressão da força de atrito estático.

$\boxed{F_{at}=M*p_{c}*W*H*d*g\\}$                    (2)

agora, dividindo a eq. (2) pela (1), como pede o problema:

$S=\frac{F_{at}}{F}$

onde S será o fator de segurança.

$S=\frac{M*p_{c}*W*H*d*g}{\frac{W*p_{a}*g*h^2}{2}}=2*\frac{M*p_{c}*H*d}{p_{a}*h^2}$

lembrando que a densidade da água é de 997kg/m^3 e calculando, obtemos:

$\boxed{S=2,23}$

acho que é isso :)