Question

A figura mostra um arranjo de 15 discos iguais colados para formar uma barra de comprimento
L=1,0 m e massa total M=100,0 mg. O arranjo pode girar em torno de um eixo perpendicular que
passa pelo disco central no ponto O.
a) Qual é o momento de inércia do conjunto em relação a esse eixo?
b) Se considerarmos o arranjo como sendo uma barra aproximadamente uniforme de massa M e
comprimento L, que erro percentual estaremos cometendo se usarmos a equação do momento
de inércia de uma barra para o cálculo?

Answer 1

Realizando os calculos de momento de inercia, temos que:

a) $I=\frac{127}{27000}M.L^2$.

b) 1771%.

Explicação:

a) Qual é o momento de inércia do conjunto em relação a esse eixo?

Para encontrarmos o momento de inercia total, vamos simplesmente somar o momento de inercia de todos os discos em relação ao centro da barra.

O disco do centro é simples e tem o momento de inercia de um disco comum:

$I=\frac{1}{2}m.r^2$

Onde m é a massa do disco pequeno e r é o raio do disco.

A partir dos discos laterais, vamos ter que utilizar o Teorema de Steiner para trocar o momento de inercia, pois os eixos de rotação deles não são no centro de massa, então o teorema nos diz que:

$I=I_{cm}+m.d^2$

Onde Icm é o momento de inercia normal dos discos e d é a distancia do centro de massa até o eixo de rotação.

Tendo isso podemos calcular todos os momentos de inercia:

Os dois discos laterais ao do meio:

$I=I_\frac{1}{2}m.r^2+m.r^2=\frac{3}{2}m.r^2$

$I=\frac{3}{2}m.r^2$

Os dois discos laterais aos anteriores:

$I=\frac{5}{2}m.r^2$

$I=\frac{5}{2}m.r^2$

E assim por diante, até completar 15 discos:

$I=\frac{7}{2}m.r^2$

$I=\frac{7}{2}m.r^2$

$I=\frac{9}{2}m.r^2$

$I=\frac{9}{2}m.r^2$

$I=\frac{11}{2}m.r^2$

$I=\frac{11}{2}m.r^2$

$I=\frac{13}{2}m.r^2$

$I=\frac{13}{2}m.r^2$

$I=\frac{15}{2}m.r^2$

$I=\frac{15}{2}m.r^2$

Agora somando todos estes momentos de inercia teremos:

$I=\frac{127}{2}m.r^2$

Mas vamos substituir este "m" por M, pois como m pequeno é a massa de um só disco, então ele é M dividido por 15:

$I=\frac{127}{2}m.r^2$

$I=\frac{127}{2}\frac{M}{15}.r^2$

E vamos substituir r por L, pois L é a soma de todas os diametros, logo r é L dividido por 30:

$I=\frac{127}{2}\frac{M}{15}.r^2$

$I=\frac{127}{2}\frac{M}{15}.(\frac{L}{30})^2$

Simplificando este momento de inercia:

$I=\frac{127}{2}\frac{M}{15}.(\frac{L}{30})^2$

$I=\frac{127}{2}\frac{M}{15}.\frac{L^2}{900}$

$I=\frac{127}{27000}M.L^2$

E assim temos o nosso momento de inercia:

$I=\frac{127}{27000}M.L^2$

b) Se considerarmos o arranjo como sendo uma barra aproximadamente uniforme de massa M e comprimento L, que erro percentual estaremos cometendo se usarmos a equação do momento de inércia de uma barra para o cálculo?

Se utilizassemos o momento de inercia de uma barra, este seria:

$I=\frac{1}{12}M.L^2$

Agora basta dividirmos um pelo outro e saberemos o quaão errado estaria este calculo:

$\frac{\frac{1}{12}M.L^2}{\frac{127}{27000}M.L^2}$

$\frac{\frac{1}{12}}{\frac{127}{27000}}$

$\frac{27000}{12.127}$

$\frac{27000}{1524}$

$17,71$

Assim vemos que o momento de inercia da barra seria 1771% maior do que ele realmente é, isso se da principalmente porque o calculo do momento de inercia da barra considera somente uma dimensão e não duas como é o nosso caso.