Question

A figura mostra três regiões, a, b e c, determinadas por um quadrado de centro O, e suas circunferências inscritas e circunscrita. Qual das igualdades a seguir e verdadeira?

Answer 1

As alternativas são:

a) c = a + b
b) c = a - b
c) c = 2a + b
d) c = a + 2b
e) c = 2a - b

Vamos chamar de r o raio do círculo interno.

Então, a área c (rosa) é igual a área de um setor de 90°, ou seja,

$c= \frac{ \pir^2.90 }{360} = \frac{\pir^2}{4}$

A área b (amarela) é igual a área de um quadrado de lado r menos a área do setor de 90° e raio r:

$b=r^2- \frac{\pir^2}{4}$

Perceba que o raio do círculo externo é igual a $r \sqrt{2}$. Portanto, a área a (azul) é igual a:

$a = \frac{\pi(r\sqrt{2})^2.90}{360} - \frac{r\sqrt{2}.r\sqrt{2}}{2}$
$a= \frac{\pi2r^2}{4} - r^2$
$a = \frac{\pi r^2}{2} -r^2$

Portanto, a alternativa correta é a letra a) c = a + b, pois:

$a+b= \frac{\pi r^2}{2}-r^2+r^2 - \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r^2}{2} - \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi r^2}{4} =c$