Question

A figura mostra parte do teclado de um piano. Os valores das frequências das notas sucessivas, incluindo os sustenidos, representados pelo símbolo #, obedecem a uma progressão geométrica crescente da esquerda para a direita; a razão entre as frequências de duas notas Dó consecutivas vale 2; a frequência da nota Lá do teclado da figura é 440 Hz. Calcule o comprimento de onda passo a passo.

Answer 1

an=a1qn-1Dó n.1
n=1Dó# 
n=2Ré 
n=3Sol 
n=7sol# 
n=8La 
n=9

Dó n.2: n=13

a13=a1q¹²

$q=(2) ^{1} /^{12} =1,059$

f_lá=a9=a7q2 = f_sol*q²

f_sol=f_$\frac{la}{q^{2}}$

f_sol=$\frac{440}{1,12}==393Hz$

V=λ.f

λ=$\frac{v}{f} = \frac{340}{393} = 0,86 m$

0,86 m

veja completo a resposta na imagem

Answer 2

A figura mostra parte do teclado de um piano. Os valores das frequências das notas sucessivas, incluindo os sustenidos, os quais obedecem a uma progressão geométrica crescente (da esquerda para a direita). Para calcular o comprimento de onda vamos a lembrar o seguinte:

Uma progressão geométrica é uma sequência na qual cada termo $a_{n}$ é obtido multiplicando o termo anterior $a_{n-1}$ por um número r chamado razão, e vai ser maior que 1 se a progressão é crescente. A progressão geométrica é dada pela fórmula:

$\boxed{a_{n} = a_{1}\;*\;q^{n-1}}$

Então neste caso sabemos que:

• r  = razão de duas notas Dó consecutivas vale 2

• f = a frequência da nota Lá do teclado da figura é 440 Hz.

• f₁₃ = 2f₁
• Velocidade do som no ar = 340 m/s

Agora vamos a substituir os dados na formula da progressão geométrica para calcular a frequência de 1 até 13:

$f_{n} = f_{1}\;*\;q^{n-1}$

$f_{13} = f_{1}\;*\;q^{13-1}$

Sabendo que f₁₃ = 2f₁ substituimos na formula:

$2f_{1} = f_{1}\;*\;q^{12}\\\\2^{(\frac{1}{12})}= (q^{12})^{(\frac{1}{12})}\\\\q = 1,059$

Agora, como f₁₃ = f₁₀ = Lá = 440 Hz  e fsol = f₈ vamos a susbtituir esses dados na formula, para achar f₈

$f_{10} = f_{8}\;*\;q^{10-8}\\\\f_{10} = f_{8}\;*\;q^{2}\\\\440 = f_{8}\;*\;(1,059)^{2}\\\\440 = f_{8}\;*\;1,12\\\\f_{8} = \frac{440}{1,12}\\\\f_{8} = 392,86\\\\f_{8} \approx 393$

Agora sim podemos calcular o comprimento com a formula:

$\boxed{v = \lambda\;*\;f}$

Onde:

• V= velocidade da onda = 340 m/s
• λ =  comprimento da onda = ?
• f = freqûencia da onda: 393 Hz

Substituimos os dados e isolamos o comprimento

$340 = \lambda\;*\; 393\\\\\lambda = \frac{340}{393}\\\\\boxed{\lambda \approx 0,86\;m}$

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