Question

A figura mostra as posições de dois carrinhos, I e II,
como função do tempo, numa experiência de colisão sobre
um trilho de ar horizontal. A posição do carrinho I
corresponde aos círculos e a do carrinho II aos quadrados.
Determine:
a) as velocidades dos carrinhos I e II antes e depois da colisão;
b) a razão entre as massas dos carrinhos I e II;
c) a razão entre as energias cinéticas final e inicial do sistema.

Answer 1

Após realizar os cálculos, podemos afirmar que:

a) A velocidade do carrinho I antes e depois da colisão é, respectivamente, 4cm/s e 1cm/s. A velocidade do carrinho II antes e depois da colisão é, respectivamente, 0cm/s e 1cm/s

b) A razão entre as massas do carrinho I e II é igual a 1/3

c) A razão entre as energias cinéticas final e inicial do sistema é igual a 1/4.

Momento linear

O momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, é uma grandeza vetorial igual ao produto da massa de um corpo ou sistema pela sua velocidade. Na forma de equação, o momento linear é dado por:

$\boxed{\large\displaystyle\mathsf{Q=m.v}}$

Em que:

$\displaystyle\mathsf{Q=quantidade~de~movimento}\\\displaystyle\mathsf{m=massa~do~corpo}\\\displaystyle\mathsf{v=velocidade}$

Conservação do momento linear

A conservação do momento linear é uma lei geral da física segundo a qual, em um sistema isolado, a quantidade de movimento total de um sistema permanece constante. Ou seja:

$\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{Q_{inicial}=Q_{final}} }}$

Resolução do exercício

a) A velocidade (V) de um corpo é igual a razão entre o deslocamento (ΔS) em um determinado intervalo de tempo (Δt)

Observando o gráfico podemos notar que, antes da colisão, o corpo I percorreu 2 metros em um intervalo de tempo igual a 0,5s. Logo:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{antes}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{antes}=\dfrac{2cm}{0,5s}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{antes}=4cm/s} }}$

Após a colisão, veja que ele percorreu 0,5 cm (de 3,5 para 4cm) em 0,5s (entre 0,9 e 1,4s). Portanto:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{depois}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{depois}=\dfrac{0,5cm}{0,5s}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{I}{}_{depois}=1cm/s} }}$

A velocidade do corpo I antes e depois da colisão é, respectivamente, 4cm/s e 1cm/s.

Observe que o corpo II estava inicialmente em repouso. Após a colisão, ele percorre 0,5cm (de 5 pra 5,5cm) em 0,5s (entre 0,9 e 1,4s). Logo:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{II}{}_{depois}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{II}{}_{depois}=\dfrac{0,5cm}{0,5s}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{V_{II}{}_{depois}=1cm/s} }}$

A velocidade do corpo II antes e depois da colisão é, respectivamente, 0cm/s e 1cm/s.

b) Considerado que este sistema seja conservativo, teremos a conservação do momento linear. Com isso, podemos obter a razão entre as massas:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{Q_{inicial}=Q_{final}} }\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{m_{I}~.~V_{I}{}_{inicial}+m_{II}~.~V_{II}{}_{inicial}=m_{I}~.~V_{I}{}_{final}+m_{II}~.~V_{II}{}_{final}} }\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{m_{I}~.~4+m_{II}~.~0=m_{I}~.~1+m_{II}~.~1} }\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{4m_{I}=m_{I}+m_{II}} }\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{3m_{I}=m_{II}} }}\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{3=\dfrac{m_{II}}{m_{I}}} }$

$\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{1}{3}=\dfrac{m_{I}}{m_{II}}} }}$

A razão entre as massas do carinho I e II é igual a 1/3.

Importante: veja que encontramos a seguinte relação:

$\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{3m_{I}=m_{II}} }}$

Usaremos esta informação no item c.

c) A energia cinética inicial do sistema será a soma da energia cinética inicial dos carrinhos I e II.

Para a energia cinética inicial do carrinho I, teremos que:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}=\dfrac{m.v^{2}}{2}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}=\dfrac{m_{I}.4^{2}}{2}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}=\dfrac{16m_{I}}{2}} }\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}=8m_{I}} }}$

Como o carrinho II estava inicialmente em repouso, sua energia cinética inicial será nula.

A energia cinética inicial do sistema será igual a energia cinética inicial do carrinho I, ou seja, igual a 8m₁.

A energia cinética final do carrinho I será igual a:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}{}_{final}=\dfrac{m.v^{2}}{2}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}{}_{final}=\dfrac{m_{I}.1}{2}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}{}_{final}=\dfrac{m_{1}}{2}} }}$

Para o carrinho II, teremos que:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{II}{}_{final}=\dfrac{m.v^{2}}{2}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{II}{}_{final}=\dfrac{m_{II}.1}{2}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{II}{}_{final}=\dfrac{m_{II}}{2}} }}$

A energia cinética final do sistema será, portanto:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{Ec_{I}{}_{final}+Ec_{II}{}_{final}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{m_{I}}{2}+\dfrac{m_{II}}{2}} }\\\\\\\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{m_{I}+m_{II}}{2}} }}$

Finalmente, teremos que a razão entre as energias cinéticas final e inicial do sistema será igual a:

$\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{Ec_{final}}{Ec_{inicial}}} }\\\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{\dfrac{m_{I}+m_{II}}{2}}{8m_{I}}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{m_{I}+m_{II}}{16m_{I}}~~\rightarrow substitua~m_{II}~por~3m_{I}} }\\\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{m_{I}+3m_{I}}{16m_{I}}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{4m_{I}}{16m_{I}}} }\\\\\\\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{\backslash\!\!\!4}{\backslash\!\!\!\!16}} }$

$\boxed{\large\displaystyle\text{ \mathsf{\dfrac{1}{4}} }}$

A razão entre as enérgicas cinéticas final e inicial do sistema é igual a 1/4.

Veja mais sobre momento linear em:

https://brainly.com.br/tarefa/9845157