Question

A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para um aço liga. O
corpo de prova do qual ela foi obtida tinha diâmetro original de 13mm e comprimento de
referência de 50mm. Se uma carga P= 20kN for aplicada ao corpo de prova, determine seu diametro e comprimento final. Considere v = 0,34

Answer 1

A figura mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para um aço liga, dele e do enunciado temos os seguintes dados:

• Tensão (σ) = 400 MPa
• Deformação (ε) = 0,002 mm/mm
• Diâmetro Original (Do) = 13 mm
• Comprimento de  referência (L) = 50 MM
• Carga (P) = 20 kN
• v = 0,34

Então primeiro calculamos a porção elástica:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\\\\E = \frac{200}{0,002}\\\\E = 200\; GPa$

Logo calculamos a tensão quando for aplicada a carga de 20kN e temos:

$\sigma = \frac{P}{\frac{\pi}{4}\;*\;d^{2}}\\\\\sigma = \frac{20kN}{\frac{\pi}{4}\;*\;(0,013m)^{2}}\\\\\sigma = 150,68\;MPa$

Agora para determinar a deformação do comprimento, podemos fazer uma regra de três con os dados da gráfica:

400 MPa ----------- 0,002 mm/mm

150,68 MPa --------- Xmm/mm

$\varepsilon _{long} = \frac{150,68\;MPa\;*\;0,002}{400\;MPa}\\\\\varepsilon _{long} = 7,534\;*10^{-4}\; mm/mm$

Assim o comprimento final é dado pela soma do comprimento inicial e o comprimento com a deformação:

$L' = L\;+\L_{\varepsilon}_{long}\\\\L' = 50\; +\; (50\;*\;7,534\;*10^{-4})\\\\L' = 50,0377\;mm$

Agora podemos determinar a tensão Lat, sabendo o valor de v:

$v = -\frac{\varepsilon _{lat}}{\varepsilon _{long}} \\\\\varepsilon_{lat} = - v\;*\; \varepsilon _{long}\\\\\varepsilon_{lat} = - 0,34 \;*\; 7,534\;*10^{-4}\\\\\varepsilon_{lat} = - 2,5615*10^{-4}\;mm/mm$

Finalmente o diâmetro final é:

$d = d_{o} \;+\; d_{o\varepsilon_{lat}}\\\\d = 13\;mm + (-2,5615*10^{-4}\;mm/mm)\\\\d = 12,99974\;mm$