Question

A figura indica um bombeiro lançando um jato de água para apagar o fogo em um ponto de uma torre retilinea perpendicular ao chão. A trajetória do jato de agua é parabólica, e dada pela função y = -x+ 2x + 3, com x y em metros.Sabendo que o ponto de fogo atingido pelo fato de agua está a 2 metros do chão, então, qual o valor de p-9, em metros?​

Answer 1

o ponto onde o jato de água atinge o fogo é o ponto $(1+\sqrt6,2)$.

Como a trajetoria da parabola é descrita pela função $y=-x^2+2x+3$ então, poderemos encontrar as raízes desta equação pelo método da fatoração.

Primeiro, fatoramos o sinal negativo no lado direito da equação é obtemos está nova equação: $y=-(x^2-2x-3)$

Queremos agora escrever $x^2-2x-3$ como o múltiplo de duas expressões da forma $x+a$ e $x+b$.

Ou seja, queremos que $(x+a) (x+b) =x^2-2x-3$

Portanto, queremos $a$ e $b$ tais que $a+b=-2$ e que $a*b=-3$

E fácil ver que basta escolher $a=-3$ e $b=1$

$-(x^2-2x-3) =-(x+1)(x-3)$

Portanto, podemos concluir que a equação da parábola será

$y=-(x+1)(x-3)$

Assim, temos que as raízes serão x=-1 e x=3

A coordenada X do vertice da parábola se localiza na metade de - 1 e 3.

$\dfrac{(-1+3)}{2}=1$.

Assim, o vertice será dado por (x,y(x))=(1,4)

Sabemos que o ponto atingido pelo jato de água está na altura y=2 metros.

Portanto, basta substituir este valor de y=2 na equação e resolver para x

$y=2=x^2-2x-3$

$0=x^2-2x-5$

E pelo método de completar quadrados:

$0=x^2-2x-5=(x-1)^2-1-5=(x-1)^2-6$

$(x-1)^2-6=0$

$x=1\pm\sqrt6$

Sabemos que $\sqrt6>2 \, \, \,, \, \, 2=\sqrt4$

Então o valor de x tem que ser $</p><p></p><p>[tex]x=1+\sqrt6$.

Assim, o ponto onde o jato de água atinge o fogo é o ponto $(1+\sqrt6,2)$.