Question

A figura ilustra um retângulo ABCD. M é o ponto médio do lado AB. Sabendo-se que CD=4m e AD=3m, a área, em m^2, do triângulo DMP vale:

Answer 1

Área de DMP = ?
CD=4m
AD=3m
Área do triângulo: bxh/2

Tem-se um retângulo 4x3=12m²

Como M é o ponto médio de AD, então:
os dois triângulos retângulo AMD e BMC, tem de área, exatamente metade do retângulo. O dois medem 12/2=6m²

O ponto P divide exatamente em 3 partes iguais as diagonais MC e BD, assim sendo, este ponto P projeta a altura relativa do triângulo PDC no segmento DC dividindo-o em 3 partes iguais de: 4/3=1,333 e este mesmo ponto P projeta a altura relativa do triângulo PBC no segmento BC dividindo-o em 3 partes iguais de: 3/2=1.

Logo, o triângulo PDC está dividido em 2 triângulos retângulo (chamemos a projeção de P em CD de P'), assim descreve 2 triângulos PDP' e PCP'.

O ponto CP' mede 4/3=1,333m
O ponto DP' mede 4/3*2=2,666m
O ponto PP' mede 3/3*2=2m
A área de PDP' é: 2,666*2/2=2,666m²
A área de PCP' é: 1,333*2/2=1,333m²

Somando as áreas
AMD = 6m²
AMC = 6m²
PDP' = 2,666m²
PCP' = 1,333m²
Total = 10m²

Subtraindo do retângulo ABCD
12-10 = 2m²

Logo a área do triângulo DMP é 2m²


Alt 'e'

Answer 2

Os triângulos AMD e MBC são retângulos de lados (catetos) 2m e 3m. A hipotenusa deles (DM e MC) é 5 m. Achando por Pitágoras:

(DM)² = 2² + 3²

(DM)² = 4 + 9

(DM)² = 13

DM = $\sqrt{13}$ m

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O triângulo do meio (DMC) é isósceles. Então se DM = $\sqrt{13}$ m , MC = $\sqrt{13}$m.

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Temos de achar os lados do triângulo DMP para calcular a área como pede o enunciado. Já temos o lado DM = $\sqrt{13}$ m

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Usando relações métricas no triângulo retângulo MBC para achar MP:

(MB)² = MP . MC

2² = MP . $\sqrt{13}$

4 = MP. 3,6056

MP = 4 : 3,6056

MP = 1,1094 m

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Achando a diagonal do retângulo (DB):

(DB)² = 4² + 3²

(DB)² = 16 + 9

(DB)² = 25

DB = $\sqrt{25}$

DB = 5 m

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Achando PB:

MB . BC = PB . MC

2 . 3 = PB . $\sqrt{13}$

6 = $\sqrt{13}$. PB

6 = 3,6056 PB

PB = 6 : 3,6056

PB = 1,6641

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Diagonal menos BP = DP

DP = 5 - 1,6641 = 3,3359 m

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Temos os três lados do triângulo DMP:

DM = 3,6056 m

MP = 1,1094 m

DP = 3,3359 m

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Usando a Fórmula de Herão ou Heron para os triângulos escalenos (quatro lados diferentes): 

$p = \frac{3,6056+1,1094+3,3359}{2}$ ⇒ semiperímetro

$p=\frac{8,0509}{2}$

$p = 4,0254$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{4,0254(4,0254-3,6056)(4,0254-1,10940(4,0254-3,3359)}$

$S = \sqrt{4,0254.04198.2,9160.0,6895}$

$S = \sqrt{3,3976}$

$S = 1,8433$

S ≅ 2 m²

Alternativa E

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