Question

A figura ao lado representa um triângulo ABC. Determine no caderno as equações na forma reduzida das retas que contém as medianas desse triângulo.
Minha dúvida se a conta que usei representa a mediana ou só efetuei a fórmula reduzida? Precisarei fazer outra fórmula para representar a mediana ou já fiz? Está certo?
Essa é a conta que realizei:
A(2,8) B(8,8) e C (6,4)

Reta que passa por A e B.
Os pontos A(2,8) e B(8,8) na forma reduzida da reta Y = ax + b

{ 2a + b = 8
{ 8a + b = 8
Multiplica por ( -1) a primeira
{-2a - b = -8
{ 8a + b = 8
6a = 0
a = 0 / 6
a = 0
Voltando na equação
8. 0 + b = 8
0 + b = 8
b = 8
Equação da reta é y = 8

A reta que passa por A e C
A (2,8) e C (6,4)

{ 2a + b = 8
{ 6a + b = 4
Multiplica por ( -1) a primeira
{ -2a - b = -8
{ 6a + b = 4
4a = -4
a = -4 / 4 = -1
Voltando na equação
6. -1 + b = 4
-6 + b = 4
b = 4 + 6
b = 10
Equação da reta é y = -x + 10


Reta que passa por B e C
B(8,8) e C (6,4)
{ 8a + b = 8
{ 6a + b = 4
Multiplica por ( -1) a segunda
{ 8a + b = 8
{ -6a - b = -4
2a = 4
a = 4 / 2 = 2
Voltando na equação
8 . 2 + b = 8
16 + b = 8
b = 8 - 16
b = -8
Equação da reta é y = 2x - 8

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que:

Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice.

Sabendo disso vamos calcular os pontos médios e depois montar as equações reduzidas.

Para começar, devemos identificar os vértices do triângulo.

A(2,8) B(8,8) C(6,4)

1) Pontos médios:

1.1) Ponto médio AB:

$\begin{cases}A(2,8) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: \: ya = 8 \\ B(8,8) \rightarrow xb = 8 \: \: \: \: \: \: yb = 8 \end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{Xm = \frac{xa + xb}{2},Ym = \frac{ya + yb}{2} } \\ \\Xm = \frac{2 + 8}{2} ,Ym = \frac{8 + 8}{2} \\ \\ Xm = \frac{10}{2} ,Ym = \frac{16}{2} \\ \\ Xm =5 ,Ym = 8 \\ \\ \boxed{M _{ab} = (5,8)}$

1.2) Ponto médio BC:

$\begin{cases}B(8,8) \rightarrow xb = 8 \: \: \: \: yb = 8 \\ C(6,4) \rightarrow xc = 6 \: \: \: \: \: yc = 4\end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{Xm = \frac{xb + xc}{2} ,Ym = \frac{yb + yc}{2}} \\ \\ Xm = \frac{8 + 6}{2} , Ym = \frac{8 + 4}{2} \\ \\ Xm = \frac{14}{2} , Ym = \frac{12}{2} \\ \\ Xm = 7, Ym = 6 \\ \\ \boxed{M _ {bc} = (7,6)}$

1.3) Ponto médio AC:

$\begin{cases}A(2,8) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: \: ya = 8\\ C(6,4) \rightarrow xc = 6 \: \: \: \: \: \: yc = 4\end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{Xm = \frac{xa + xc}{2} ,Ym = \frac{ya + yc}{2} }\\ \\ Xm = \frac{2 + 6}{2} ,Ym = \frac{8 + 4}{2} \\ \\ Xm = \frac{8}{2} ,Ym = \frac{12}{2} \\ \\ Xm = 4,Ym = 6 \\ \\ \boxed{M_{ac} = (4,6)}$

2) Coeficiente angulares:

2.1) Coeficiente do vértice C com o ponto médio oposto a ele, ou seja, AB.

$\begin{cases} C(6,4) \rightarrow xc = 6 \: \: \: \: yc = 4 \\ M _{ab} (5 ,8) \rightarrow x _{mab} = 5 \: \: \: \: y_ {mab} = 8\end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{m = \frac{yc - y _{mab}}{xc - x _{mab}} } \\ \\ m = \frac{4 - 8}{6 - 5} \\ \\ m = \frac{ - 4}{1} \\ \\ \boxed{m = - 4}$

2.2) Coeficiente do vértice B com o ponto médio oposto a ele, ou seja, AC.

$\begin{cases} B(8,8) \rightarrow xb = 8 \: \: \: \: yb = 8\\ M_{ac}(4 ,6) \rightarrow x_{mac} = 4 \: \: \: \: y_{mac} = 6\end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{m = \frac{yb - y_{mac} }{xb - x _{mac}}} \\ \\ m = \frac{8 -6 }{8 - 4} \\ \\ m = \frac{ 2}{ 4} \\ \\ \boxed{m = \frac{1}{2} }$

2.3) Coeficiente do vértice A com o ponto médio o ponto médio oposto a ele, ou seja, BC.

$\begin{cases}A(2,8) \rightarrow xa = 2 \: \: \: \: \: ya = 8 \\M_{bc}(7 ,6) \rightarrow x _{mbc} = 7,y_{mbc} = 6\end{cases}$

Substituindo:

$\boxed{m = \frac{ya - y _{mbc} }{xa - x _{mbc} } } \\ \\ m = \frac{8 - 6}{2 - 7} \\ \\ m = \frac{ 2}{ - 5} \\ \\ \boxed{ m = - \frac{2}{5} }$

Agora vamos montar as equações gerais.

3) Equações reduzidas:

3.1) Equação reduzida da mediana AMbc

Para isso vamos escolher uma das duas coordenadas ou A ou Mbc, para facilitar nossa vida, vamos escolher a com os menores valores, ou seja, A(2,8).

$\boxed{A(2,8) \rightarrow xo = 2 \: \: \: \: \: yo = 8}$

Substituindo;

$\boxed{y - yo = m.(x - xo)} \\ \\ y - 8 = - \frac{2}{5} .(x - 2) \\ \\ y - 8 = - \frac{2x}{5} - 2 \\ \\ y = - \frac{2x}{5} - 2 + 8 \\ \\ \boxed{y = - \frac{2x}{5} + 6} \rightarrow mediana\: AM_{bc}$

3.2) Equação reduzida da mediana BMac

Do mesmo jeito da outra mediana, vamos escolher a menor coordenada, ou seja Mac(4,6).

$\boxed{M_{ac} = (4,6) \rightarrow xo = 4 \: \: \: \: yo = 6}$

Substituindo:

$\boxed{y - yo = m.(x - xo)} \\ \\ y - 6 = \frac{1}{2} .(x - 4) \\ \\ y - 6 = \frac{x}{2} - \frac{ 4}{2} \\ \\ y- 6 = \frac{x}{2} - 2 \\ \\ y = \frac{x}{2} - 2 + 6 \\ \\ \boxed{y = \frac{x}{2} + 4} \leftarrow mediana \: BM_{ac}$

3.3) Equação reduzida da mediana CMab.

Já sabemos que devemos escolher uma das duas incógnitas sendo que é mais interessante escolher a menor, ou seja, C(6,4).

$\boxed{ C(6,4) \rightarrow xo = 6 \: \: \: \: \: yo = 4}$

Substituindo:

$\boxed{y - yo = m.(x - xo)} \\ \\ y - 4 = - 4.(x - 6) \\ \\ y - 4 = - 4x + 24 \\ \\ y = - 4x + 24 + 4 \\ \\ \boxed{y = - 4x + 28} \leftarrow mediana \: CM_{ab}$

Que questão grande ksksk.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️