Question

A figura ao lado apresenta uma circunferência com centro C e raio 2, o ângulo CDB é reto e o arco de circunferência BE mede 3π/2.

(img)

a) Calcule o comprimento do segmento BD.

b) Calcule a medida da área sombreada na figura.

Answer 1

Primeiro vamos calcular o comprimento total do arco, sabendo que o raio vale 2:

$\mathsf{C=2\pi r}\\\mathsf{C=2\pi\cdot2}\\\mathsf{C=4\pi}$

Vamos descobrir agora a medida do ângulo formado por BE, sabendo que seu comprimento é de $\mathsf{\frac{3\pi}{2}}$ e que um ângulo completo equivale a 360º

$\mathsf{\dfrac{4\pi}{\frac{3\pi}{2}}=\dfrac{360}{x}}\\\\\\\mathsf{4\pi x=360\cdot\dfrac{3\pi}{2}}\\\\\mathsf{4\diagup\!\!\!\!\pi x=540\diagup\!\!\!\!\pi}\\\\\mathsf{x=\dfrac{540}{4}}\\\\\mathsf{x=135\º}$

Como sabemos que a medida do arco BE mede 135º, agora podemos calcular o ângulo do triângulo $\mathsf{B\^CD}$

Sabendo que um ângulo reto mede 180º temos:

$\mathsf{B\^CD=180\º - 135\º = 45\º}$

Sabemos que o comprimento do raio é igual a 2 que é a mesma distância entre o Centro (C) e o ponto B, que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo $\mathsf{\overline{BCD}}$

Com essas informações já podemos calcular o comprimento BD através do seno de 45º

$\mathsf{sen(45)=\dfrac{BD}{BC}}\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\!2}=\dfrac{BD}{\diagup\!\!\!\!2}}\\\\\mathsf{BD=\sqrt{2}}$

Resposta (a) = √2


B -

A área sombreada é igual a área do setor circular mais a área do triângulo retângulo $\mathsf{\overline{BCD}}$

Primeiro vamos calcular a área da circunferência:

$\mathsf{A_c=r^2\pi}\\\mathsf{A_c=2^2\pi}\\\mathsf{A_c=4\pi}$

Como vimos antes a medida do ângulo do arco BE é igual a 135º, basta fazer então agora uma regra de 3 para calcular a área do setor circular ECB

$\mathsf{\dfrac{4\pi}{x}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!360:45}{\diagup\!\!\!\!\!135:45}\to \dfrac{8}{3}}\\\\\mathsf{8x=12\pi}\\\\\mathsf{x=\dfrac{\diagup\!\!\!\!12\pi:4}{\diagup\!\!\!\!8:4}\to \boxed{\mathsf{x=\dfrac{3\pi}{2}}}}$

Calculando agora a área do triângulo BCD:

Antes precisamos calcular o comprimento CD do triângulo retângulo.

Como já sabemos o comprimento CB e DB, basta usarmos Pitágoras para encontrar o comprimento do cateto CD.

$\mathsf{CD^2+(\sqrt{2})^2=2^2}\\\mathsf{CD^2+2=4}\\\mathsf{CD^2=2}\\\mathsf{CD=\sqrt{2}}$

Calculando a área:

$\mathsf{A_t=\dfrac{b\cdot h}{2}}\\\\\mathsf{A_t=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}}\\\\\mathsf{A_t=\dfrac{2}{2}}\\\\\mathsf{A_t=1}$

Basta somarmos as áreas e encontraremos a área sombreada:

$\mathsf{A_{sombreada}=\dfrac{3\pi}{2}+1}\\\\\\\Large\boxed{\mathsf{A_{sombreada}=\dfrac{3\pi+2}{2}}}$

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