Question

A figura acima mostra como a força exercida pelo fio de um arco varia em função da distância em que a flecha é puxada para trás (o comprimento de deformação). Suponha que a mesma força seja fornecida para a flecha que se move para frente quando o fio é liberado. A deformação máxima para esse arco corresponde a um comprimento de deformação igual a 75.0 cm. Se o arco atira uma flecha de 0.025 kg quando ele está submetido a uma deformação máxima, qual é a velocidade da flecha quando ela abandona o arco?

gabarito da questão:
v = 92 m/s​

Answer 1

Resposta:

Solução:

Analisando o dado da figura do enunciado, temos:

$\sf \displaystyle Dados: \begin{cases} \sf F_0 = 200\:N \\ \sf x_0 =75\: cm = 0,75\:m \\ \sf m = 0,025\:kg \end{cases}$

A aproximação da da curva F versus x uma parábola que vai $\sf \textstyle x = 0$ até $\sf \textstyle x = x_0$, teremos $\sf \textstyle F_0$ for o máximo:

$\sf \displaystyle x = \dfrac{x_0}{2}$

$\sf \displaystyle F(x) = \frac{4\:F_0}{x_0^2} \cdot x\cdot (x_0 -x)$

O trabalho é dado por:

$\sf \displaystyle W = \int_0^{x_0}\: F(x) dx$

Integrando temos:

$\sf \displaystyle W = \int_0^{x_0}\: F(x) dx =$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{x_0^2} \int_0^{x_0}\: (x_0\cdot x-x^2) dx$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{x_0^2}\cdot\: \left(x_0\cdot \dfrac{x_0^2}{2} - \dfrac{x_0^3}{3} \right)$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{x_0^2}\cdot\: \left(\dfrac{x_0^3}{2} - \dfrac{x_0^3}{3} \right)$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{x_0^2}\cdot\: \left(\dfrac{3x_0^3}{6} - \dfrac{2x_0^3}{6} \right)$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{x_0^2}\cdot\: \dfrac{x_0^3}{6}$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{4 \:F_0}{6}\cdot\: \dfrac{x_0^3}{x_0^2}$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{2 \:F_0}{3}\;x_0$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{2\cdot 200}{3} \cdot 0,75$

$\sf \displaystyle W = \dfrac{300}{3}$

$\sf \displaystyle W = 100 \:J$

A velocidade é dada por:

$\sf \displaystyle V = \sqrt{\dfrac{2\cdot W}{m} }$

$\sf \displaystyle V = \sqrt{\dfrac{2\cdot 100}{0,025} }$

$\sf \displaystyle V = \sqrt{\dfrac{200}{0,025} }$

$\sf \displaystyle V = \sqrt{8000 }$

$\sf \displaystyle V\approx 89,44\:m/s$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle v = 89\:m/s}}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Explicação: