Question

A figura abaixo representa uma parábola de vértice V = (1,0) e parâmetro p = 2.

Nestas condições a sua equação será do tipo:

(y – y0) 2 = 2.p.(x – x0), sendo (x0 , y0)

as coordenadas de V.

Nessas condições, determine as equações da parábola e da circunferência, e determine os seus pontos de intersecção A e B.

Answer 1

Pelo enunciado, sabemos que o ponto (x0, y0) é o vértice da parábola e equivale a (1, 0). O enunciado também nos deu a equação da parábola e seu parâmetro p. Substituindo os valores, temos:
$(y-0)^2=2*2(x-1) \\ y^2 = 4x - 4$

Como a distância p representa o raio da circunferência e p = 2, temos que a equação da circunferência é:
$x^2+y^2=2^2 \\ x^2+y^2=4$

Para encontrar os pontos de interseção A e B, vamos igualar as equações:
y² = 4x - 4
y² = 4 - x²

4x - 4 = 4 - x²
x² + 4x - 8 = 0

Resolvendo esta equação, encontramos:
$x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{48} }{2} \\ \\ x = -2 \pm 2\sqrt{3}$

Sabemos que a coordenada x de A e B é positiva, portanto ela vale -2 + 2√3 (aproximadamente 1,46).
Substituindo x na segunda equação, temos:
y² = 4 - (-2+2√3)²
y² = 4 - (4 - 8√3 + 12)
y² = 4 - 4 + 8√3 - 12
y² = 8√3 - 12
y ≈ 1,36

Como A e B são simétricos, temos que A = (1,46; 1,36) e B = (1,46; -1,36).